Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка

Рассмотрим синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка. Обобщение алгоритма на системы более высокого порядка не представляет сложности.

Пусть дифференциальное уравнение объекта имеет вид

Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №1 - открытая онлайн библиотека (116)

где Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №2 - открытая онлайн библиотека - скаляр - выходная переменная; U-управление.

На вход системы поступает сигнал Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №3 - открытая онлайн библиотека ,который должен воспроизводиться переменной Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №2 - открытая онлайн библиотека . Поставим задачу формирования управления

Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №5 - открытая онлайн библиотека

минимизирующего ошибку системы.

Введем интервал квантования T и будем стремиться к тому, чтобы в моменты времени t=kT,k=0,1,… выходной сигнал и его первая производная совпадали с входным сигналом и его первой производной. При этом управление строится отдельно на каждом временном отрезке Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №6 - открытая онлайн библиотека . Пусть при t=kT известны величины x[kT],f[kT]. Предположим далее, что можно измерить или вычислить производную Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №7 - открытая онлайн библиотека , а также , что в момент t=kT возможно экстраполировать функцию f(t) и оценить ее значение и значение ее первой производной при Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №8 - открытая онлайн библиотека . Обозначим эти оценки Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №9 - открытая онлайн библиотека и Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №10 - открытая онлайн библиотека . Поставим задачу определения управления U(t) на отрезке Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №6 - открытая онлайн библиотека , переводящего изображающую точку на плоскости Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №12 - открытая онлайн библиотека из начального положения Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №13 - открытая онлайн библиотека , в конечное положение ( Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №14 - открытая онлайн библиотека , Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №15 - открытая онлайн библиотека ) .

Задачу определения управления будем решать как обратную задачу динамики , т.е. задавшись траекторией на плоскости Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №12 - открытая онлайн библиотека соединяющей имеющуюся начальную и желаемую конечную точки, найдем управление U при Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №6 - открытая онлайн библиотека . Зададимся следующим законом изменения координаты x(t) :

Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №18 - открытая онлайн библиотека , (117)

где время t отсчитывается заново для каждого отрезка. Коэффициенты Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №19 - открытая онлайн библиотека постоянны на каждом временном отрезке и изменяются при его смене.

Определим коэффициенты Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №19 - открытая онлайн библиотека , исходя из начальных величин Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №21 - открытая онлайн библиотека и желаемых конечных величин Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №9 - открытая онлайн библиотека , Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №10 - открытая онлайн библиотека . Найдем производную Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №24 - открытая онлайн библиотека согласно формуле (117):

Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №25 - открытая онлайн библиотека . (118)

Тогда система уравнений для определения коэффициентов Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №19 - открытая онлайн библиотека примет вид

Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №27 - открытая онлайн библиотека (119)

Система (119) всегда имеет единственное решение

Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №28 - открытая онлайн библиотека (120)

Найдем высшие производные по t выражения (117):

Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №29 - открытая онлайн библиотека . (121)

Подставляя выражения (117),(118),(121) с коэффициентами (120) в уравнение объекта (116), найдем

Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №30 - открытая онлайн библиотека .

Здесь управление выражается в явном виде, так как уравнение (116) не содержит производных u(t) .

Данный алгоритм может быть реализован при использовании ЭВМ в контуре управления. При этом U(t) может реализовываться либо с помощью аналогового устройства с переменными коэффициентами, либо с помощью цифрового вычислительного устройства, работающего с периодом дискретности Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №31 - открытая онлайн библиотека , значительно меньшим Т. Оценки Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №9 - открытая онлайн библиотека , Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №10 - открытая онлайн библиотека в простейшем случае могут получаться с помощью конечных разностей решетчатой функции Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №34 - открытая онлайн библиотека . Следует отметить, что даже при идеальной экстраполяции система будет следить за входным сигналом с ошибкой. Это объясняется тем, что в системе третьего порядка для однозначного задания движения необходимо знать еще и начальную величину ускорения Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №35 - открытая онлайн библиотека . Здесь же контролируются только координата и ее первая производная. Процесс (117) возможен при условии

Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №36 - открытая онлайн библиотека .

В противном случае реальный процесс x(t) отличается от определяемого по формуле (117) и в точку ( Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №9 - открытая онлайн библиотека , Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №10 - открытая онлайн библиотека ) система попадет с некоторой сшибкой, к которой еще добавится ошибка экстраполяции. Однако приведенный алгоритм не накапливает ошибки, более того, возникшую на каком-либо этапе ошибку он постарается исправить на следующем шаге. При необходимости можно включить в число контролируемых параметров и вторую производную Синтез алгоритма управления на примере системы третьего порядка - №35 - открытая онлайн библиотека .