Символьные вычисления

Все математические вычисления можно отнести к двум типам, исходя из принципа их осуществления:

Первый, символьный или аналитический, известен с глубокой древности.

Второй, численный, получил широкое распространение только во второй половине 20 века.

Решение задач аналитически имеет массу преимуществ перед решением численным:

· ответ может быть вычислен без какой-либо погрешности;

· получение результата в виде алгебраического выражения открывает куда более широкие возможности для его последующего использования; (новые законы (физические) выводятся в результате символьного интегрирования или дифференцирования более простых или исторически более ранних уравнений);

· числовой результат, полученный в символьном виде, более понятен нам, чем десятичная дробь, получаемая численно.

Почему же символьные вычисления не очень широко распространены пока в компьютерной математике? Причины следующие:

1. Аналитическим решением обладает ограниченное число задач. (Так, например, чтобы найти корни уравнения в виде выражения, требуется выразить одну переменную через все остальные (или коэффициенты). Сделать же это можно только в том случае, если уравнение включает переменные невысокой степени и не содержит разнородных функций)

Численно же можно решить практически любое уравнение.

2. Возможности современных компьютеров в области аналитических вычислений все еще крайне ограничены. Дело в том, что такие задачи относятся к области применения технологий искусственного интеллекта. Компьютеры научились очень быстро считать, но творчески анализировать и создавать что-то принципиально новое на основании некоторого минимального базиса они не могут.

Символьный процессор MathCAD хорошо справляется только с теми математическими проблемами, в основу который можно положить четкий и конкретный алгоритм (например, дифференцирование или подстановка переменной).

Качество решения MathCAD основных задач символьной алгебры (требующих творческого поиска), например, упрощение выражений или разложение на множители можно считать удовлетворительным только с той оговоркой, что еще 17 летназад (до 1990 года) таких технологий не существовало в принципе.

В системе MathCAD – два альтернативных пути осуществления того или иного символьного преобразования:

· при помощи команд специального меню «Символические» (Symbolics), которое расположено в главном меню программы;

· с использованием операторов панели инструментов (рабочей панели) «Символика» (Symbolic).

Остановимся на принципиальных различиях при символических вычислениях в случае использования панели инструментов по сравнению с использованием меню.

Символьные операции, производимые при помощи панели «Символика» осуществляются не командами, а специальными операторами.

Ввести такой оператор можно очень просто, нажав на панели нужный пункт. Например, если необходимо решить уравнение, то следует выбрать пункт «Решить» (Solve):

■ solve, ■

Появится оператор, образованный ключевым словом, двумя маркерами и оператором символьного вывода.

На место левого маркера вводится уравнение, правого переменная, по которой оно должно быть решено.

Пример

Решить уравнение x2 – a = 0

Используя панель «Символика» запишем:

x2 – a solve, x →

Результат получим в виде вектора: Символьные вычисления - №1 - открытая онлайн библиотека

Символьные преобразования, осуществляемые при помощи операторов панели «Символика» более наглядны, чем при использовании команд соответствующего меню.

Посмотрим на примерах отличия символьных преобразований при использовании панели и меню. Главное отличие – это то, что преобразования при помощи команд меню осуществляются MathCAD без учета определений и присваиваний, сделанных в документе выше.

При использовании же операторов панели «Символика» происходит подстановка определенных выше значений параметров.

Пример

Необходимо разложить в ряд функцию cos(ax + b), при a = 3 и b = 5.

Разложение в ряд при помощи команды меню «Символические» дает:

Символьные вычисления - №2 - открытая онлайн библиотека

При использовании же операторов панели «Символика» происходит подстановка значений введенных параметров a и b:

Символьные вычисления - №3 - открытая онлайн библиотека

Очевидно, что использование команд меню удобнее тогда, когда результат не нужно сохранять или использовать в дальнейших расчетах. В противном случае лучше применять операторы панели «Символика».

Однако меню «Символические» имеет ряд команд и настроек, которые не находят отражения на рабочей панели.

Одной из особенностей этого меню является наличие в нем подменю «вычислить» (Evaluate), отвечающего за проведение арифметических расчетов при помощи символьного процессора.

Состав подменю «Вычислить»:

Символические (Symbolically)
Плавающая точка (Floating Point)
Комплексные (Complex)

Данное меню содержит три команды.

В первой строке располагается команда «Символически» (Symbolically), предназначенная для расчета значения некоторой функции или выражения в символьном виде. По своему назначению она полностью совпадает с оператором символьного вывода «». Эта же команда может быть задействована нажатием сочетания клавиш [«Shift» + «F9»] (при этом вычисляемое выражение должно быть выделено).

Пример

Необходимо вычислить Символьные вычисления - №4 - открытая онлайн библиотека

Нажав [Shift + F9] получим:

Символьные вычисления - №5 - открытая онлайн библиотека ,

либо, используя оператор символьного вывода:

Символьные вычисления - №6 - открытая онлайн библиотека

В меню «Символы», подменю «Расчеты» расположена команда «Плавающая точка» (Floating Point). С ее помощью можно получить численное значение некоторого выражения с нужной точностью.

Чтобы это сделать, необходимо выделить выражение и нажать данную команду. На экране появится специальное окно настройки «Вычисления с плавающей запятой» (рис. 6.40).

Символьные вычисления - №7 - открытая онлайн библиотека

Рис. 6.40 Команда «Вычисления с плавающей запятой»

В строке «Floating Point Precision» необходимо задать уровень по шкале от 1 до 4000.

Примеры использования команды «Плавающая точка»: Найдем значение следующего выражения при различных уровнях точности:

Символьные вычисления - №8 - открытая онлайн библиотека .

Floating Point Precision = 3:

Символьные вычисления - №9 - открытая онлайн библиотека

Floating Point Precision = 15:

Символьные вычисления - №10 - открытая онлайн библиотека

Floating Point Precision = 20:

Символьные вычисления - №11 - открытая онлайн библиотека

Для обычных выражений увеличение уровня точности от 20 и выше не приводит к каким либо изменениям в ответе, поскольку числа с дробной частью при символьных расчетах отображаются только до 20-го знака после запятой. Однако уровень точности 4000 может понадобиться в том случае, если вы работаете с очень малыми величинами.

Арифметические расчеты с помощью символьного процессора могут быть полезны, если величина результата меньше параметра «Порог нуля» («Zero Threshold») закладки «Точность» («Tolerance») меню «Формат результата» («Result Format»).

В этом случае при использовании оператора численного вывода « = » в качестве ответа будет выдан ноль. Вычисление же символически даст правильный результат.

Пример

Точность результата при различных типах расчета.

«Порог нуля» («Zero Threshold») = 10-10

Символьные вычисления - №12 - открытая онлайн библиотека

Использование команды «Плавающая точка»:

8,6602540378443864675 · 10-101

В меню «Символы», подменю «Рсчеты» расположена команда «Комплексные» (Complex), при помощи которой можно производить перевод различных форм записи комплексных чисел к стандартной (вида a + i · b).

Пример

Символьные вычисления - №13 - открытая онлайн библиотека ;

Символьные вычисления - №14 - открытая онлайн библиотека .

Произвести настройку особенностей отображения результата при использовании для символьных расчетов меню «Символические» (Symbolics) можно при помощи специального подменю «Стиль вычислений» (Evaluation Style) (рис. 6.41).

Символьные вычисления - №15 - открытая онлайн библиотека

Рис 6.41 Подменю «Стиль вычислений»

При помощи параметров списка «Отображение шагов вычисления» (Show evaluations steps) рассматриваемого меню можно определить, каким образом по отношение к исходному выражению будет выведен результат символьных расчетов.

Данный список содержит 3 пункта:

1 «Вертикально, вставляя линии» (Vertikally, inserting lines). Параметр, определенный по умолчанию. Результат вставляется в специальную, очищенную от других формул полосу рабочей области ниже исходного выражения. Остальные объекты листа при этом смещаются вниз на ширину данной полосы;

2 «Вертикально, не вставляя линий» (Vertically, without inserting lines).

Результат выводиться ниже исходного выражения, но это не сказывается на положении других формул документа;

3 «Горизонтально» (Horizontally). Результат отображается правее исходного выражения.

Если поставить флажок в окошке «Вычислить на месте» (Evaluate In Place), то результат просто заменит исходное выражение.

При включении параметра «Показать комментарии» (Show comments) ответ выводиться на лист вместе с текстовой строкой, содержащей информацию о проделанной символьной операции.

Пример

x2 – 4x + 1, выделим х и проведем интегрирование. В результате выводятся комментарии и результат интегрирования:

by integration, yiecds

Символьные вычисления - №16 - открытая онлайн библиотека