Сила давления жидкости на плоскую стенку

Выведем формулу для определения силы суммарного гидростатического давления P, действующего на плоскую стенку произвольного очертания, расположенную под поверхностью жидкости под произвольным углом α к горизонту (рис. 2.9). Выделим на рассматриваемой стенке элементарную площадку Сила давления жидкости на плоскую стенку - №1 - открытая онлайн библиотека .

Силу давления на элементарную площадку dω, расположенную на глубине h, можно записать в виде

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №2 - открытая онлайн библиотека .

Здесь p0 – давление на поверхности жидкости.

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №3 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.9

Если l – координата в плоскости стенки, то Сила давления жидкости на плоскую стенку - №4 - открытая онлайн библиотека . Тогда

  Сила давления жидкости на плоскую стенку - №5 - открытая онлайн библиотека . (2.13)

Чтобы найти величину силы давления, действующей на всю площадь ω, нужно проинтегрировать элементарную силу dP, действующую на площадку dω, по площади ω:

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №6 - открытая онлайн библиотека .

Интеграл Сила давления жидкости на плоскую стенку - №7 - открытая онлайн библиотека является статическим моментом площади стенки ω относительно оси x, которая представляет собой линию пересечения наклонной плоскости стенки с поверхностью жидкости. Этот момент можно представить как

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №8 - открытая онлайн библиотека ,

где lC – координата центра тяжести рассматриваемой площадки.

Тогда, учитывая, что

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №9 - открытая онлайн библиотека ,

где hC – глубина погружения центра тяжести площадки, получим

  Сила давления жидкости на плоскую стенку - №10 - открытая онлайн библиотека (2.14)

или

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №11 - открытая онлайн библиотека

Здесь pC – давление в центре тяжести стенки.

Таким образом, полная сила давления жидкости на плоскую стенку равна произведению площади стенки на гидростатическое давление pС в центре тяжести этой площадки.

Внешнее давление p0 передается всем точкам площадки ω одинаково, поэтому его равнодействующая будет приложена в центре тяжести площадки. А давление жидкости распределится по площадке неравномерно.

Точка приложения равнодействующей сил гидростатического давления называется центром давления.

Найдем координату центра давления на площадке ω. Будем считать для простоты, что на стенку действуют только силы избыточного давления, то есть

p0= 0.

Обозначим центр давления буквой D. Тогда его координата по стенке будет lD. Вспомним теорему механики о том, что момент равнодействующей силы (в нашем случае – гидростатического давления) относительно оси (возьмем ось Оx) равен сумме моментов составляющих сил, то есть

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №12 - открытая онлайн библиотека .

Из формулы (2.13) определим величину dP и, с учетом того, что p0= 0, получим

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №13 - открытая онлайн библиотека ,

где Jx – момент инерции площадки ω относительно оси x.

Отсюда:

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №14 - открытая онлайн библиотека .

Подставим в эту формулу значение P из выражения (2.14) и, учитывая, что p0 = 0, получим:

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №15 - открытая онлайн библиотека .

Выразим момент инерции относительно оси x (Jx) через момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести площадки ω и параллельной оси x – JC :

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №16 - открытая онлайн библиотека .

Тогда окончательно имеем:

  Сила давления жидкости на плоскую стенку - №17 - открытая онлайн библиотека . (2.15)

Из этой формулы видно, что lD всегда будет больше lC, то есть центр давления лежит глубже, чем центр тяжести площадки ω. Величина Сила давления жидкости на плоскую стенку - №18 - открытая онлайн библиотека имеет размер длины и называется эксцентриситетом давления. Эксцентриситет давления уменьшается с увеличением глубины погружения площадки.

Если площадь ω имеет ось симметрии, перпендикулярную оси x, то формула (2.15) полностью определяет положение центра давления. В случае несимметричной фигуры нужно отыскать вторую координату центра давления в направлении, параллельном оси x. Построим ось y, перпендикулярную оси x, и проведем все расчеты и рассуждения, аналогичные вышеприведенным, относительно этой оси. Получим:

Сила давления жидкости на плоскую стенку - №19 - открытая онлайн библиотека .

Здесь Сила давления жидкости на плоскую стенку - №20 - открытая онлайн библиотека – центробежный момент инерции площадки ω относительно осей x и y. Следует иметь в виду, что центробежный момент инерции может быть и положительным, и отрицательным, в зависимости от расположения оси y.

В предыдущих рассуждениях принято, что давление на поверхности жидкости p0 равно нулю. Если оно отлично от нуля, то учесть его можно так: точкой приложения силы внешнего давления на площадку будет центр тяжести этой площадки; точкой приложения избыточного давления является центр давления. Зная две этих силы и точки их приложения, можно найти общий центр давления на площадку, при этом полная сила давления на площадь ω будет равна сумме внешнего и избыточного давлений.