Сила давления жидкости на плоскую поверхность

Пусть некоторая плоская поверхность площадью Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №1 - открытая онлайн библиотека сложной геометрической, формы лежит в пределах координатной плоскости xOz, имеющей наклон к горизонту под углом Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №2 - открытая онлайн библиотека (рис. 2.12). Над поверхностью находится жидкость глубиной Н.

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №3 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.12

Ось Ох лежит на линии пересечения координатной плоскости и свободной поверхности жидкости (т.е. ось Ох перпендикулярна плоскости чертежа). Определим результирующую силу избыточного давления жидкости на эту плоскую поверхность.

Для того чтобы видеть форму площадки Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №1 - открытая онлайн библиотека и иметь возможность наносить на нее нужные обозначения, развернем координатную плоскость xOz вокруг оси Oz и совместим с плоскостью чертежа.

Выделим элементарную площадку Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №5 - открытая онлайн библиотека в пределах поверхности Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №1 - открытая онлайн библиотека около некоторой т. А, находящейся на глубине h. Сила избыточного давления на эту элементарную площадку Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №7 - открытая онлайн библиотека ,где Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №8 - открытая онлайн библиотека - среднее значение давления в пределах Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №5 - открытая онлайн библиотека на глубине h, Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №10 - открытая онлайн библиотека . Тогда Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №11 - открытая онлайн библиотека , а суммарное давление на всю поверхность Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №1 - открытая онлайн библиотека определится как

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №13 - открытая онлайн библиотека

Выразим h через координату т. А по оси Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №14 - открытая онлайн библиотека (z) и угол наклона поверхности ( Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №15 - открытая онлайн библиотека ):

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №16 - открытая онлайн библиотека

тогда

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №17 - открытая онлайн библиотека

Произведение Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №18 - открытая онлайн библиотека вынесено за знак интеграла как постоянная величина. Из теоретической механики известно, что Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №19 - открытая онлайн библиотека представляет собой статический момент площади Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №20 - открытая онлайн библиотека относительно оси Ох. Статический момент равен произведению площади Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №21 - открытая онлайн библиотека на плечо, равное расстоянию от оси Ох до центра тяжести поверхности. На рис. 2.12 центр тяжести Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №21 - открытая онлайн библиотека обозначен т.С.

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №23 - открытая онлайн библиотека

тогда Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №24 - открытая онлайн библиотека

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №25 - открытая онлайн библиотека (2.9)

Но Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №26 - открытая онлайн библиотека - гидростатическое давление в центре тяжести рассматриваемой поверхности (hc - глубина погружения центра тяжести площадки под уровень свободной поверхности).

Уравнение (2.9) показывает, что результирующая сила давления жидкости на любую плоскую площадку равна произведению гидростатического давления в центре тяжести этой площадки на ее площадь.

Если требуется определить силу абсолютного давления на плоскую поверхность, то формула для F будет иметь следующий вид:

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №27 - открытая онлайн библиотека (2.10)

ЦЕНТР ДАВЛЕНИЯ

Точка приложения результирующей силы давления жидкости на любую поверхность называется центром давления.

Применительно к рис. 2.12 центром давления является т. D. Определим координаты центра давления (xD; zD) для любой плоской поверхности.

Из теоретической механики известно, что момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси. За ось в нашем случае примем ось Ох (см. рис. 2.12), тогда

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №28 - открытая онлайн библиотека

Известно также, что Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №29 - открытая онлайн библиотека является моментом инерции площади Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №30 - открытая онлайн библиотека относительно оси Ox Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №31 - открытая онлайн библиотека

В результате получаем

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №32 - открытая онлайн библиотека

откуда

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №33 - открытая онлайн библиотека

Подставим в это выражение формулу (2.9) для F и геометрическое соотношение Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №34 - открытая онлайн библиотека :

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №35 - открытая онлайн библиотека

Перенесем ось момента инерции в центр тяжести площадки Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №36 - открытая онлайн библиотека . Обозначим момент инерции относительно оси, параллельной оси Ох и проходящей через т.С, через Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №37 - открытая онлайн библиотека . Моменты инерции относительно параллельных осей связаны соотношением

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №38 - открытая онлайн библиотека ;

тогда Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №39 - открытая онлайн библиотека и окончательно получим

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №40 - открытая онлайн библиотека (2.11)

Формула показывает, что центр давления расположен всегда ниже центра тяжести площадки, за исключением случая, если площадка горизонтальна и центр давления совпадает с центром тяжести. Для простых геометрических фигур моменты инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести и параллельной оси Ох (рис. 2.12), определяются по следующим формулам:

для прямоугольника

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №41 - открытая онлайн библиотека (2.12)

где сторона основания параллельна Ох;

для равнобедренного треугольника

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №42 - открытая онлайн библиотека (2.13)

где сторона основания параллельна Ох;

для круга

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №43 - открытая онлайн библиотека (2.14)

Координата Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №44 - открытая онлайн библиотека для плоских поверхностей строительных конструкций чаще всего определяется по координате расположения оси симметрии геометрической фигуры, ограничивающей плоскую поверхность. Так как такие фигуры (круг, квадрат, прямоугольник, треугольник) имеют ось симметрии, параллельную координатной оси Oz, местоположение оси симметрии и определяет координату xD. Например, для прямоугольной плиты (рис. 2.13), определение координаты xD ясно из чертежа.

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №45 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.13. Схема расположения центра давления для прямоугольной поверхности

Гидростатический парадокс.Рассмотрим силу давления жидкости на дно сосудов, изображенных на рис. 2.14.

Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №46 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.14. Сила давления на дно сосудов различных форм

Несмотря на разную форму объемов сосудов, изображенных на этом рисунке, сила давления на дно каждого из них будет одинакова, хотя вес налитой в каждый объем жидкости будет различен. Действительно, Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №47 - открытая онлайн библиотека , но Сила давления жидкости на плоскую поверхность - №48 - открытая онлайн библиотека и hc для всех сосудов одинаковы.