Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге

Материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. В сплошном материале деформацию сдвига можно осуществить, например, если подвергнуть кручению тонкостенную трубу (рис.16.1а). Прямоугольные до деформации элементы материала стенок трубы превращаются в параллелограммы за счет изменения первоначально прямого угла на малый угол Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №1 - открытая онлайн библиотека , называемый углом сдвига.

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №2 - открытая онлайн библиотека

Рис.16.1 Стенки трубы при закручивании испытывают деформации сдвига

Напряженно-деформированное состояние (НДС), характеризуемое тем, что на гранях элемента возникают только касательные напряжения, называют чистым сдвигом (рис. 16.1б). Чистый сдвиг – частный случай плоского напряженного состояния (ПНС), был изучен нами раннее (лекция № 5 раздел 5.6) .

Аналогично закону Гука при растяжении (сжатии) рассмотрим закон Гука при сдвиге. Экспериментальное изучение деформаций чистого сдвига обычно проводят путем кручения трубчатых образцов, подобных показанному на рис.16.1а. Из эксперимента получаем зависимость между напряжением Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №3 - открытая онлайн библиотека и углов сдвига Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №1 - открытая онлайн библиотека . Такая диаграмма сдвига изображена на рис.16.2 для пластичной стали. До напряжения Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №5 - открытая онлайн библиотека , называемого пределом пропорциональности при сдвиге, справедлива линейная зависимость Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №6 - открытая онлайн библиотека

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №7 - открытая онлайн библиотека , (16.1)

которая носит название закон Гука при сдвиге.

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №8 - открытая онлайн библиотека

Рис.16.2 Диаграмма сдвига для пластичной стали

Напряжение Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №9 - открытая онлайн библиотека - предел текучести при сдвиге (напряжение при котором угол сдвига Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №1 - открытая онлайн библиотека возрастает при постоянном напряжении Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №11 - открытая онлайн библиотека ). Для пластичного материала протяженность диаграммы сдвига довольно велика (рис. 16.2). Завершается испытание в этом случае срезом материала в плоскости поперечного сечения трубчатого образца.

В формуле (16.1) Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №12 - открытая онлайн библиотека - модуль упругости материала при сдвиге. Смещение Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №13 - открытая онлайн библиотека называется абсолютным сдвигом (рис.16.2б), а отношение Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №14 - открытая онлайн библиотека - относительным сдвигом (угол сдвига - безразмерная величина). Модуль сдвига Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №12 - открытая онлайн библиотека выражается в единицах напряжения (Па).

В дальнейшем будет показано, что модуль сдвига выражается через модуль упругости Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №16 - открытая онлайн библиотека и коэффициент Пуассона Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №17 - открытая онлайн библиотека по формуле

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №18 - открытая онлайн библиотека (16.2)

Например, для стали Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №19 - открытая онлайн библиотека , Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №20 - открытая онлайн библиотека по формуле (16.2) найдем Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №21 - открытая онлайн библиотека . Характерно, что для многих материалов предел текучести при сдвиге Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №22 - открытая онлайн библиотека связан с пределом текучести при растяжении Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №23 - открытая онлайн библиотека следующим соотношением Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №24 - открытая онлайн библиотека ( Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №25 - открытая онлайн библиотека ).

16.2 Касательные напряжения. Закон Гука при кручении

Кручение, как основной вид деформации, характерно для элементов машиностроительных конструкций, таких как валы двигателей, оси моторных вагонов и локомотивов и.т.п. В строительных конструкциях кручение может иметь место при пространственной работе элементов стержневых систем, что в большинстве случаев является нежелательным.

Общая деформация кручения стержня с круглым сечением изображена на рис.16.3а. Эта деформация характерна тем, что поперечное сечение поворачивается вокруг оси стержня Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №26 - открытая онлайн библиотека на углы Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №27 - открытая онлайн библиотека , называемые углами закручивания, а в поперечных сечениях возникают касательные напряжения Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №28 - открытая онлайн библиотека , приводящие к крутящему моменту Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №29 - открытая онлайн библиотека .

Правило знаков для момента Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №29 - открытая онлайн библиотека : при взгляде на торцевое сечение элемента стержня Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №31 - открытая онлайн библиотека со стороны внешней нормали видим, что положительный момент Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №29 - открытая онлайн библиотека направлен по ходу часовой стрелки (рис 16.3а).

Угол поворота Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №33 - открытая онлайн библиотека , если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали ( с конца оси Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №26 - открытая онлайн библиотека ) видим поворот по часовой стрелке (рис 16.3б).

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №35 - открытая онлайн библиотека Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №36 - открытая онлайн библиотека

Рис. 16.3 Крутящие моменты и углы закручивания в стержне

Получим формулу для напряжений Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №28 - открытая онлайн библиотека и найдем зависимость между функцией угла закручивания Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №38 - открытая онлайн библиотека и крутящим моментом Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №39 - открытая онлайн библиотека . Для сечения стержня в виде круга указанная задача решается путем использования двух допущений о характере деформации стержня, подтверждаемых экспериментально.

Первое допущение. Будем считать, что поперечное сечение при кручении, поворачивается вокруг оси Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №40 - открытая онлайн библиотека , остается плоским (гипотеза плоских сечений).

Второе допущение. Все радиусы данного сечения остаются прямыми и поворачиваются на один и тот же угол Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №41 - открытая онлайн библиотека , т.е. каждое поперечное сечение поворачивается вокруг оси Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №40 - открытая онлайн библиотека как жесткий тонкий диск.

Согласно этим допущениям, кручение представляет деформацию сдвига элемента стержня, заключенного между соседними поперечными сечениями, вызванную относительным поворотом этих сечений вокруг оси Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №40 - открытая онлайн библиотека (рис.16.4).

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №44 - открытая онлайн библиотека

Рис. 16.4 Деформации прямоугольной сетки при кручении стержня

На рис. 16.5 изображена деформация элемента стержня длиной Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №45 - открытая онлайн библиотека , выделенного из закручиваемого стержня при произвольном значении Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №46 - открытая онлайн библиотека . На рис.16.5 условно принято, что левое сечение элемента Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №45 - открытая онлайн библиотека остается неподвижным, а правое поворачивается на угол Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №48 - открытая онлайн библиотека , создаваемый за счет закручивания на длине Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №45 - открытая онлайн библиотека . Один из радиусов ОВ, оставаясь прямым, поворачивается вместе с сечением на угол Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №50 - открытая онлайн библиотека , а образующая СК произвольной точки Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №51 - открытая онлайн библиотека этого радиуса переходит в положение СК1, поворачиваясь на угол Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №1 - открытая онлайн библиотека -угол сдвига в этой точке стержня. Дуга Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №53 - открытая онлайн библиотека , а из треугольника СКК1 тот же отрезок Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №54 - открытая онлайн библиотека .

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №55 - открытая онлайн библиотека

Рис. 16.5 Деформация элемента стержня при кручении

Из равенства Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №56 - открытая онлайн библиотека найдем Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №57 - открытая онлайн библиотека и по закону Гука (16.1) Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №58 - открытая онлайн библиотека получим касательное напряжение

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №59 - открытая онлайн библиотека . (16.3)

Таким образом, Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №60 - открытая онлайн библиотека в сечении изменяется пропорционально Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №61 - открытая онлайн библиотека . Согласно формуле (16.3) закон изменения касательных напряжений вдоль радиуса линейный Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №62 - открытая онлайн библиотека (рис.16.6)

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №63 - открытая онлайн библиотека Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №64 - открытая онлайн библиотека

Рис.16.6 Распределение касательных напряжений при кручении

Во всех точках окружности с радиусом Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №61 - открытая онлайн библиотека напряжения одинаковые и направлены по касательной к окружности.

Величина

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №66 - открытая онлайн библиотека (16.4)

называется относительным (погонным) углом закручивания и имеет размерность Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №67 - открытая онлайн библиотека .

В формуле (16.3) угол Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №68 - открытая онлайн библиотека неизвестен и может быть найден из условия, что напряжение Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №60 - открытая онлайн библиотека сводится к крутящему моменту Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №70 - открытая онлайн библиотека (рис.16.6).

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №71 - открытая онлайн библиотека , или

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №72 - открытая онлайн библиотека , , (16.5)

где

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №73 - открытая онлайн библиотека (16.6)

- полярный момент инерции поперечного сечения ( Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №74 - открытая онлайн библиотека ).

С учетом выражения для относительного угла закручивания (16.4) получим

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №75 - открытая онлайн библиотека . (16.7)

Касательные напряжения в точках окружности отстоящих на расстоянии Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №76 - открытая онлайн библиотека от центра с учетом (16.3) Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №59 - открытая онлайн библиотека и (16.4) Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №66 - открытая онлайн библиотека определятся по формуле

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №79 - открытая онлайн библиотека (16.8)

Отметим, что по закону парности в перпендикулярной плоскости диаметрального продольного сечения стержня возникают касательные напряжения также как и в поперечном сечении, определяемые по формуле (16.8). На рис. 16.7 показано распределение Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №60 - открытая онлайн библиотека вдоль радиуса в двух указанных сечениях

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №81 - открытая онлайн библиотека

Рис.16.7 Касательные напряжения в двух взаимно перпендикулярных сечениях

Интегрируем выражение (16.5) Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №72 - открытая онлайн библиотека от нуля до Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №83 - открытая онлайн библиотека получим выражение для угла закручивания стержня на длине Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №83 - открытая онлайн библиотека

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №85 - открытая онлайн библиотека . (16.9)

В формуле (16.9) Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №86 - открытая онлайн библиотека -угол закручивания в начале стержня (константа интегрирования)

Произведение Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №87 - открытая онлайн библиотека - называется жесткостью сечения на кручение.

Если крутящий момент по длине стержня постоянный ( Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №88 - открытая онлайн библиотека ), то выражение для угла закручивания примет вид

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №89 - открытая онлайн библиотека . (16.10)

Формула (16.10) выражает закон Гука при кручении стержня.

Угол закручивания Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №90 - открытая онлайн библиотека стержня длиной Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №83 - открытая онлайн библиотека прямо пропорционален крутящему моменту Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №92 - открытая онлайн библиотека и обратно пропорционален жесткости на кручение Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №93 - открытая онлайн библиотека .

Полярный момент инерции для круглого поперечного сечения и момент сопротивления кручению определяются по формулам:

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №94 - открытая онлайн библиотека ;

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №95 - открытая онлайн библиотека .Окончательно получаем:

Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №96 - открытая онлайн библиотека , Сдвиг и кручение. Закон Гука при сдвиге - №97 - открытая онлайн библиотека . (16.11)