Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями

Модуль объемной упругости К, также называемый модулем всестороннего сжатия, показывает, насколько сильно меняется давление при изменении объема. Он является коэффициентом пропорциональности, связывающим изменение давления и относительное изменение объема

Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями - №1 - открытая онлайн библиотека .

Так как давление зависит не только от объема, но и от температуры, K определяется не только веществом, но и условиями сжатия. Наиболее важными являются адиабатический Kад и изотермический КТ модули объемной упругости. Они определяются соотношениями

Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями - №2 - открытая онлайн библиотека и Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями - №3 - открытая онлайн библиотека .

В предыдущем параграфе было показано, что для идеального газа

Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями - №4 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда следует, что Kад = g KТ. Покажем, что такое соотношение между адиабатическим и изотермическим модулями объемной упругости имеет место не только для идеального газа, но и для любого однородного и изотропного вещества. При выводе будем пользоваться фактом существования уравнения состояния (не зная его конкретного вида) и первым началом термодинамики

f(P,V,T) = 0,

dQ = dU + PdV.

Запишем первое начало термодинамики для адиабатического (dQ = 0) процесса

dU + PdV = 0.

Рассматривая внутреннюю энергию как функцию температуры и объема U=U(T,V), возьмем ее полный дифференциал

dU = (¶U/¶T)V dT + (¶U/¶V)T dV

и подставим в предыдущее выражение. Учитывая, что (¶U/¶T)V = CV получим

CV dT + [(¶U/¶V)T + P]dV = 0.

Из соотношения (4.6) следует, что выражение в квадратных скобках равно (Cp – CV)(¶T/¶V)P.

Тогда

CV dT + (CP – CV)(¶T/¶V)P dV = 0. (7.1)

Напомним, что рассматривается адиабатический процесс, и приращения dV и dT связывают температуру и объем на адиабате. Обозначая, как обычно, СРV = g, можно эту связь представить в виде

Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями - №5 - открытая онлайн библиотека . (7.2)

Соотношение (7.2) в каких-то ситуациях может оказаться весьма полезным, но сейчас нас интересует связь давления с объемом.

Рассматривая температуру как функцию давления и объема T = T(P,V), возьмем ее полный дифференциал dT = (¶T/¶P)V dP + (¶T/¶V)P dV и подставим в уравнение (7.1). После упрощений получим

Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями - №6 - открытая онлайн библиотека ,

или Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями - №7 - открытая онлайн библиотека .

Воспользовавшись тождеством (2.4) легко убедиться, что (¶T/¶V)P(¶P/¶T)V = - (¶P/¶V)T.

Окончательно получим Связь модулей объемной упругости с теплоемкостями - №4 - открытая онлайн библиотека .

Значит Kад = g KТ для любого однородного и изотропного вещества.