Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами

Теорема:

1)an- бесконечно большая Þ 1/an – бесконечно малая

2)aт – бесконечно малая, an¹0 ("n>N0) Þ1/an – бесконечно большая

Доказательство:

1)an- бесконечно большая Þ lim an=¥ Þ для достаточно больших номеров n an¹0. Зададим любое сколько

n®+¥

угодно малое ε>0, положим ε=1/ε>0

Для ε $N1:"n>N1Þ |an|>ε, то есть |an|>1/ε N=max{N1;N0}

Тогда "n>N Þ 1/|an|<ε, то есть lim 1/an=0, то есть 1/an – бесконечно малое

n®+¥

2)an – бесконечно малоеÞ lim an=0

n®+¥

Дано: an¹0, n>N0 зададим "ε>0 положим ε=1/ε>0

$N1:"n>N1Þ |an|<ε=1/ε

N=max{N0;N1}: "n>N Þ 1/|an|=¥, то есть 1/an – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда $ lim an=а<¥

n®+¥

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.


Лекция №5

Тема: Бесконечно большие последовательности

Теорема:

lim(1-1/n)n=1/e e=2,7183

n®+¥

0£an=1-1/n£1 "nÎN, то есть an=(1-1/n)n- ограниченна.

n+1Öan=n+1Ö(1-1/n)n·1=n+1Ö(1-1/n)(1-1/n)…(1-1/n)·1<[1+(1-1/n)+…+(1-1/n)]/n+1=(n+1-n·1/n)/n+1=n/n+1=1-1/n+1

n+1Ö(1-1/n)n<1-1/n+1

(1-1/n)n<(1-1/n+1)n+1

an<an+1 "nÎN Þ последовательность возрастает и ограниченная.

(1-1/n)n – имеет конечный предел

lim(1-1/n)n=1/e

n®+¥

Следствие

lim(1+1/n)n=e

n®+¥

lim1/(1+1/n)n=(n/n+1)n=[1-1/(n+1)]n+1/ [1-1/(n+1)]=(1/e)/1=1/e

n®+¥

lim[1/(1+1/n)n]=1/e

n®+¥

lim(1+1/n)n=e

n®+¥

Определение под последовательности

Пусть дана an зададим произвольный набор натуральных чисел таких, что

n1<n2<n3<…<nk<….

an1,an2,…,ank,…

Полученная последовательность называется под последовательностью и сходной последовательности.

an=(-1)n

{an}={-1;1;-1;1….}

n1=2;n2=4,….,nk=2k

{ank}={1,1,1,1…}

Теорема

Пусть последовательность an сходится, тогда "последовательности

$ lim an=a "{ank} – гас и lim

n®+¥

lim ank=0

n®+¥

Доказательство так как an – сходиться, то "ε>0 $N: "n>N Þ |an-a|<ε

ank; nk>N то есть |ank-a|<ε

Пример

an=(-1)n – не имеет предела

{a2n}={1,…,1,…,}

{a2n-1}={-1,….,-1,…}

имели бы тот же самый предел.

Предел функции.

Определение

Пусть y=f(x) определена в O°(x0). Мы говорим, что функция f(x) имеет предел в при х®х0 если "ε>0 $ d>0

"x:0<|x-x0|<dÞ |f(x)-b|<ε

lim f(x)=b

x®x°

Через окрестности это определение записывается следующим образом

"ε>0 $d>0 "xÎ0°d(x0)Þf(x)Î0ε(b)

Если lim f(x)=0, то f(x) наз бесконечно малой при x®x0.

x®x°

Замечание. Необходимо указать в каком именно процессе f(x) бесконечно малое. Надо указать к какому числу ® а.

f(x)=x-1

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами - №1 - открытая онлайн библиотека Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами - №2 - открытая онлайн библиотека

1.x®1 lim(x-1)=0, то есть y=x-1 бесконечно малое при x®1

x®1

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами - №3 - открытая онлайн библиотека 2.x®2 lim(x-1)=1, то есть y=x-1 не является бесконечно малой при x®2

x®1

Пример

f(x)=2x+1 x®1

Докажем lim(2x+1)=3

x®1

"ε>0 $d>0 "x:0<|x-1|<dÞ |(2x+1)-3|<ε

|(2x+1)-3|<ε

|x-1|<ε/2

x¹1

Положим d=ε/2

Теорема о бесконечно малом

1)a(x);b(x) – бесконечно малое x®x0 Þ a(x)+b(x) – бесконечно малое при x®x0

2)a(x);b(x) – бесконечно малое при x®x0

3)Если f(x) – ограниченна в O°(x0) и a(x) – бесконечно малое при x®x0, то f(x);a(x) – бесконечно малое при x®x0

Доказательство (3)

Так как f(x) – ограниченна в O°(x0), то $ С>0: "xÎO°(x0)Þ|f(x)|£C;

Так как a(x) – бесконечно малое при х®х0, то "ε>0 $d>0 "x: 0<|x-x0|<d Þ |a(x)|<ε "ε1>0

Положим ε=ε1/c

$d>0 "x: 0<|x-x0|<dÞ |f(x)a(x)|=|f(x)||a(x)|<Cε=ε1Þ lim f(x)a(x)=0, то есть f(x)a(x) – бесконечно малое при x®x0

x®x°


Лекция №6