Связи вход-состояние и вход-выход

Рассмотрим многомерную линейную систему, описываемую уравнениями состояния и выхода:

Связи вход-состояние и вход-выход - №1 - открытая онлайн библиотека , Связи вход-состояние и вход-выход - №2 - открытая онлайн библиотека ,

Связи вход-состояние и вход-выход - №3 - открытая онлайн библиотека .

Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции: эффект, вызывае­мый суммой нескольких воздействий, равен сумме эффектов от каждого из воздействий в отдельности. Закон изменения вектора состояния линейной системы представляется в виде суммы свободного и вынужденного движений: Связи вход-состояние и вход-выход - №4 - открытая онлайн библиотека . Аналогичное соотношение справедливо и для вектора выхо­да: Связи вход-состояние и вход-выход - №5 - открытая онлайн библиотека в силу связи (1.37).

Свободное движение Связи вход-состояние и вход-выход - №6 - открытая онлайн библиотека Связи вход-состояние и вход-выход - №7 - открытая онлайн библиотека происходит при отсутствии внешнего воздействия Связи вход-состояние и вход-выход - №8 - открытая онлайн библиотека вследствие ненулевых начальных условий (1.36). Оно опреде­ляется решением однородной системы уравнений, соответствующей исходному уравнению состояния (1.35):

Связи вход-состояние и вход-выход - №9 - открытая онлайн библиотека (1.43)

с начальными условиями Связи вход-состояние и вход-выход - №2 - открытая онлайн библиотека . Если начальные условия нулевые, свободное движение в системе отсутствует, т.е. Связи вход-состояние и вход-выход - №11 - открытая онлайн библиотека .

Вынужденное движение Связи вход-состояние и вход-выход - №12 - открытая онлайн библиотека Связи вход-состояние и вход-выход - №13 - открытая онлайн библиотека - это реакция системы на внешнее воздействие Связи вход-состояние и вход-выход - №14 - открытая онлайн библиотека при нулевых начальных условиях. Оно определяется решением неоднородного уравнения (1.35) при нулевых начальных условиях.

Для многомерных нестационарных систем, описываемых соотношениями (1.35) - (1.37), законы изменения векторов состояния и выхода определяются по формулам

Связи вход-состояние и вход-выход - №15 - открытая онлайн библиотека , (1.44)

Связи вход-состояние и вход-выход - №16 - открытая онлайн библиотека , (1.45)

где Связи вход-состояние и вход-выход - №17 - открытая онлайн библиотека - переходная матрица, или матрица Коши, являющаяся решением уравнения

Связи вход-состояние и вход-выход - №18 - открытая онлайн библиотека (1.46)

начальным условием

Связи вход-состояние и вход-выход - №19 - открытая онлайн библиотека . (1.47)

Первые слагаемые в (1.44), (1.45) описывают свободное движение, а вторые вынужденное.

Формулы (1.43) - (1.46) следуют из общего алгоритма решения линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений [40], включающего три этапа.

Первый этап. Решается однородная система дифференциальных уравнений

Связи вход-состояние и вход-выход - №9 - открытая онлайн библиотека ,

соответствующая исходной неоднородной системе

Связи вход-состояние и вход-выход - №21 - открытая онлайн библиотека .

Ее общее решение записывается в форме

Связи вход-состояние и вход-выход - №22 - открытая онлайн библиотека ,

где Связи вход-состояние и вход-выход - №23 - открытая онлайн библиотека вектор произвольных постоянных, Связи вход-состояние и вход-выход - №24 - открытая онлайн библиотека - фундаментальная матрица, Связи вход-состояние и вход-выход - №25 - открытая онлайн библиотека линейно независимые решения однородной системы. Каждый столбец Связи вход-состояние и вход-выход - №26 - открытая онлайн библиотека (фундаментальной матрицы удовлетворяет одно­родной системе, т.е. справедливы равенства Связи вход-состояние и вход-выход - №27 - открытая онлайн библиотека , Связи вход-состояние и вход-выход - №28 - открытая онлайн библиотека или Связи вход-состояние и вход-выход - №29 - открытая онлайн библиотека .

Второй этап. Ищется общее решение неоднородной системы методом вариации произвольных постоянных:

Связи вход-состояние и вход-выход - №30 - открытая онлайн библиотека ,

где вектор-функция Связи вход-состояние и вход-выход - №31 - открытая онлайн библиотека подлежит определению. Подставляя Связи вход-состояние и вход-выход - №32 - открытая онлайн библиотека в неоднородную систему, получаем

Связи вход-состояние и вход-выход - №33 - открытая онлайн библиотека .

С учетом Связи вход-состояние и вход-выход - №29 - открытая онлайн библиотека имеем

Связи вход-состояние и вход-выход - №35 - открытая онлайн библиотека или Связи вход-состояние и вход-выход - №36 - открытая онлайн библиотека .

Обратная матрица Связи вход-состояние и вход-выход - №37 - открытая онлайн библиотека существует, поскольку Связи вход-состояние и вход-выход - №38 - открытая онлайн библиотека как определитель Вронского. Интегрируя последнее соотношение, находим

Связи вход-состояние и вход-выход - №39 - открытая онлайн библиотека ,

где Связи вход-состояние и вход-выход - №40 - открытая онлайн библиотека - вектор произвольных постоянных. В результате искомое общее решение имеет вид

Связи вход-состояние и вход-выход - №41 - открытая онлайн библиотека .

Третий этап. Ищется частное решение неоднородной системы, удовлетворяющее начальным условиям Связи вход-состояние и вход-выход - №2 - открытая онлайн библиотека :

Связи вход-состояние и вход-выход - №43 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда Связи вход-состояние и вход-выход - №44 - открытая онлайн библиотека и

Связи вход-состояние и вход-выход - №45 - открытая онлайн библиотека .

Обозначая Связи вход-состояние и вход-выход - №46 - открытая онлайн библиотека , получаем формулу (1.44). При Связи вход-состояние и вход-выход - №47 - открытая онлайн библиотека получаем начальное условие (1.47). Умножая уравнение Связи вход-состояние и вход-выход - №29 - открытая онлайн библиотека справа на матрицу Связи вход-состояние и вход-выход - №49 - открытая онлайн библиотека , имеем Связи вход-состояние и вход-выход - №50 - открытая онлайн библиотека , т.е. уравнение (1.46).

З а м е ч а н и е. Для многомерных стационарных систем, описываемых уравнениями

Связи вход-состояние и вход-выход - №51 - открытая онлайн библиотека , (1.48)

Связи вход-состояние и вход-выход - №52 - открытая онлайн библиотека , (1.49)

Связи вход-состояние и вход-выход - №53 - открытая онлайн библиотека , (1.50)

законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по формулам

Связи вход-состояние и вход-выход - №54 - открытая онлайн библиотека , (1.51)

Связи вход-состояние и вход-выход - №55 - открытая онлайн библиотека , (1.52)

где Связи вход-состояние и вход-выход - №56 - открытая онлайн библиотека - переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности Связи вход-состояние и вход-выход - №57 - открытая онлайн библиотека . В данном случае решение уравнения (1.46) имеет вид

Связи вход-состояние и вход-выход - №58 - открытая онлайн библиотека .