Свойства эквивалентных бесконечно малых

1. Если Свойства эквивалентных бесконечно малых - №1 - открытая онлайн библиотека , то Свойства эквивалентных бесконечно малых - №2 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство очевидно, Свойства эквивалентных бесконечно малых - №3 - открытая онлайн библиотека то Свойства эквивалентных бесконечно малых - №4 - открытая онлайн библиотека

2. Если Свойства эквивалентных бесконечно малых - №1 - открытая онлайн библиотека и Свойства эквивалентных бесконечно малых - №6 - открытая онлайн библиотека то Свойства эквивалентных бесконечно малых - №7 - открытая онлайн библиотека .

Дано: Свойства эквивалентных бесконечно малых - №3 - открытая онлайн библиотека , Свойства эквивалентных бесконечно малых - №9 - открытая онлайн библиотека . Докажем, что Свойства эквивалентных бесконечно малых - №10 - открытая онлайн библиотека .

Свойства эквивалентных бесконечно малых - №11 - открытая онлайн библиотека = Свойства эквивалентных бесконечно малых - №12 - открытая онлайн библиотека = Свойства эквивалентных бесконечно малых - №13 - открытая онлайн библиотека = 1.

3. Порядок разности двух эквивалентных величин больше, чем порядок малости каждой из них.

Доказательство. Дано: Свойства эквивалентных бесконечно малых - №3 - открытая онлайн библиотека . Докажем, что при делении разности на любую из них предел будет 0, это как раз и означает, что в числителе - более высокого порядка.

Свойства эквивалентных бесконечно малых - №15 - открытая онлайн библиотека = Свойства эквивалентных бесконечно малых - №16 - открытая онлайн библиотека = 1-1 = 0.

4. Порядок малости суммы равен наименьшему из порядков слагаемых.

Доказательство. Пронумеруем так, чтобы 1-е слагаемое было наименьшего порядка. Тогда: Свойства эквивалентных бесконечно малых - №17 - открытая онлайн библиотека = Свойства эквивалентных бесконечно малых - №18 - открытая онлайн библиотека = 1+0+...+0 = 1.

То есть, эта сумма эквивалентна слагаемому наименьшего порядка.

Пример: Свойства эквивалентных бесконечно малых - №19 - открытая онлайн библиотека 1-го а не 3-го порядка малости в точке x = 0.

Свойства эквивалентных бесконечно малых - №20 - открытая онлайн библиотека - 2-го порядка.

А вот если рассматривать предел при Свойства эквивалентных бесконечно малых - №21 - открытая онлайн библиотека , то тогда 8-го порядка. При малых значениях наибольшее влияние на сумму оказывает наименьшая степень, а при бесконечном возрастании - наибольшая степень.

4а. Порядок суммы бесконечно-больших равен наибольшему из порядков слагаемых.

5. Если Свойства эквивалентных бесконечно малых - №22 - открытая онлайн библиотека , Свойства эквивалентных бесконечно малых - №23 - открытая онлайн библиотека и Свойства эквивалентных бесконечно малых - №24 - открытая онлайн библиотека то Свойства эквивалентных бесконечно малых - №25 - открытая онлайн библиотека

то есть этот предел тоже существует, и равен К.

Доказательство. Дано: Свойства эквивалентных бесконечно малых - №26 - открытая онлайн библиотека , Свойства эквивалентных бесконечно малых - №27 - открытая онлайн библиотека , Свойства эквивалентных бесконечно малых - №28 - открытая онлайн библиотека .

Вычислим Свойства эквивалентных бесконечно малых - №29 - открытая онлайн библиотека = Свойства эквивалентных бесконечно малых - №30 - открытая онлайн библиотека = Свойства эквивалентных бесконечно малых - №31 - открытая онлайн библиотека .

Это свойство даёт возможность в дробях фактически заменять более сложные бесконено-малые на более простые, как правило, даже на степенные.

Пример. Свойства эквивалентных бесконечно малых - №32 - открытая онлайн библиотека = Свойства эквивалентных бесконечно малых - №33 - открытая онлайн библиотека = Свойства эквивалентных бесконечно малых - №34 - открытая онлайн библиотека = Свойства эквивалентных бесконечно малых - №35 - открытая онлайн библиотека .

Домножили и поделили, так что первая дробь стала состоять из двух эквивалентных величин, и её предел равен 1. А выглядит это так, как будто в числителе просто заменили Свойства эквивалентных бесконечно малых - №36 - открытая онлайн библиотека на эквивалентную Свойства эквивалентных бесконечно малых - №37 - открытая онлайн библиотека .

Лекция № 11. 18. 11. 2016