Свойства функций, непрерывных на отрезке

Функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека называется непрерывной на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека если а) она непрерывна в любой точке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №3 - открытая онлайн библиотека а на концах Свойства функций, непрерывных на отрезке - №4 - открытая онлайн библиотека и Свойства функций, непрерывных на отрезке - №5 - открытая онлайн библиотека отрезка непрерывна справа и слева соответственно, т.е. Свойства функций, непрерывных на отрезке - №6 - открытая онлайн библиотека Функции, непрерывные на отрезке, обладают рядом замечательных свойств, сформулированных ниже.

1. Теорема Вейерштрасса Свойства функций, непрерывных на отрезке - №7 - открытая онлайн библиотека Если функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №8 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека то она ограничена на этом отрезке, т.е. существует постоянная Свойства функций, непрерывных на отрезке - №10 - открытая онлайн библиотека такая, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №11 - открытая онлайн библиотека

2. Теорема Вейерштрасса Свойства функций, непрерывных на отрезке - №12 - открытая онлайн библиотека Если функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №8 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека то она достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. существуют точки Свойства функций, непрерывных на отрезке - №15 - открытая онлайн библиотека такие, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №16 - открытая онлайн библиотека

3.Теорема Больцано-Коши Свойства функций, непрерывных на отрезке - №17 - открытая онлайн библиотекаЕсли функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №8 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека то каково бы ни было значение Свойства функций, непрерывных на отрезке - №20 - открытая онлайн библиотека существует значение Свойства функций, непрерывных на отрезке - №21 - открытая онлайн библиотека такое, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №22 - открытая онлайн библиотека

4. Теорема Больцано-Коши Свойства функций, непрерывных на отрезке - №23 - открытая онлайн библиотека Если функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №8 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №25 - открытая онлайн библиотека и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков Свойства функций, непрерывных на отрезке - №26 - открытая онлайн библиотека то существует хотя бы одно значение Свойства функций, непрерывных на отрезке - №27 - открытая онлайн библиотека такое, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №28 - открытая онлайн библиотека

2. Монотонность функции

Напомним определение монотонных функций.

Определение 1.Говорят, что функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №29 - открытая онлайн библиотека строго возрастает на множестве Свойства функций, непрерывных на отрезке - №30 - открытая онлайн библиотека если для любых Свойства функций, непрерывных на отрезке - №31 - открытая онлайн библиотека из неравенства Свойства функций, непрерывных на отрезке - №32 - открытая онлайн библиотека вытекает неравенство Свойства функций, непрерывных на отрезке - №33 - открытая онлайн библиотека Если же Свойства функций, непрерывных на отрезке - №34 - открытая онлайн библиотека то функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №29 - открытая онлайн библиотека называется строго убывающей на множестве Свойства функций, непрерывных на отрезке - №36 - открытая онлайн библиотека Если же из строгого неравенства Свойства функций, непрерывных на отрезке - №32 - открытая онлайн библиотека между аргументами вытекают нестрогое неравенство Свойства функций, непрерывных на отрезке - №38 - открытая онлайн библиотека между значениями функции, то говорят, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №29 - открытая онлайн библиотека является неубывающей (соответственно невозрастающей ) на множестве Свойства функций, непрерывных на отрезке - №36 - открытая онлайн библиотека Множество всех функций строго возрастающих и строго убывающих образует класс строго монотонных функций; невозрастающие и неубывающие функции образует класс просто монотонных функций.

При исследовании на монотонность функций используются выписанная ранее

Теорема Лагранжа.Если функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №41 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №42 - открытая онлайн библиотека и является дифференцируемой по-крайней мере в интервале Свойства функций, непрерывных на отрезке - №43 - открытая онлайн библиотека то существует точка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №44 - открытая онлайн библиотека такая, что

Свойства функций, непрерывных на отрезке - №45 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №46 - открытая онлайн библиотека

Теорема 1.Пусть функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №41 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №42 - открытая онлайн библиотека и является дифференцируемой по-крайней мере в интервале Свойства функций, непрерывных на отрезке - №49 - открытая онлайн библиотека Тогда справедливы следующие высказывания:

1. если Свойства функций, непрерывных на отрезке - №50 - открытая онлайн библиотека то функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №41 - открытая онлайн библиотека строго возрастает на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №42 - открытая онлайн библиотека ;

2. если Свойства функций, непрерывных на отрезке - №53 - открытая онлайн библиотека то функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №41 - открытая онлайн библиотека строго убывает на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №42 - открытая онлайн библиотека .

Доказательствовытекает из равенства (1), в котором надо положить Свойства функций, непрерывных на отрезке - №56 - открытая онлайн библиотека Действительно, если Свойства функций, непрерывных на отрезке - №57 - открытая онлайн библиотека а Свойства функций, непрерывных на отрезке - №58 - открытая онлайн библиотека (тогда и Свойства функций, непрерывных на отрезке - №59 - открытая онлайн библиотека ), то (см. (1)) будет

выполняться неравенство Свойства функций, непрерывных на отрезке - №60 - открытая онлайн библиотека Это означает, что функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №41 - открытая онлайн библиотека строго возрастает на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №42 - открытая онлайн библиотека . Аналогично доказывается высказывание 2. Теорема доказана.

Замечание 1. Можно показать, что в случае нестрогого знака производной имеет место высказывание:

3. Для того чтобы функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №63 - открытая онлайн библиотека удовлетворяющая условиям теоремы 1, была неубывающей (невозрастающей) на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №42 - открытая онлайн библиотека , необходимо и достаточно, чтобы Свойства функций, непрерывных на отрезке - №65 - открытая онлайн библиотека (соответственно Свойства функций, непрерывных на отрезке - №66 - открытая онлайн библиотека ).

Например, функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №67 - открытая онлайн библиотека строго убывает на любом отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №68 - открытая онлайн библиотека так как Свойства функций, непрерывных на отрезке - №69 - открытая онлайн библиотека при Свойства функций, непрерывных на отрезке - №70 - открытая онлайн библиотека и эта функция строго возрастает на Свойства функций, непрерывных на отрезке - №71 - открытая онлайн библиотека так как Свойства функций, непрерывных на отрезке - №72 - открытая онлайн библиотека при Свойства функций, непрерывных на отрезке - №73 - открытая онлайн библиотека