Свойства функций, непрерывных на отрезке

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Тогда в интервале Свойства функций, непрерывных на отрезке - №3 - открытая онлайн библиотека

найдется точка с, в которой функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека обращается в нуль, то есть Свойства функций, непрерывных на отрезке - №5 - открытая онлайн библиотека .

Геометрический смысл этой теоремы состоит в том, что если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси Ох на другую, то она пересекает эту ось.

  Бернгард Больцано (1781-1848) – чешский философ и математик, доказал теорему в 1817 году. Огюстен Луи Коши (1789-1857) – знаменитый французский математик, доказал теорему независимо от Больцано в 1821 году. Этим ученым, особенно Коши, принадлежит заслуга обоснования математического анализа.
Свойства функций, непрерывных на отрезке - №6 - открытая онлайн библиотека
x
b
у = f(x)
с
а
О
у
Свойства функций, непрерывных на отрезке - №7 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №8 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №9 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №10 - открытая онлайн библиотека Доказательство. Предположим для определенности, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №11 - открытая онлайн библиотека . Обозначим отрезок Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека через Свойства функций, непрерывных на отрезке - №13 - открытая онлайн библиотека и разделим его пополам точкой Свойства функций, непрерывных на отрезке - №14 - открытая онлайн библиотека . Если Свойства функций, непрерывных на отрезке - №15 - открытая онлайн библиотека , то теорема доказана и Свойства функций, непрерывных на отрезке - №16 - открытая онлайн библиотека , в противном случае через Свойства функций, непрерывных на отрезке - №17 - открытая онлайн библиотека обозначим ту из половин отрезка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №13 - открытая онлайн библиотека , для которой Свойства функций, непрерывных на отрезке - №19 - открытая онлайн библиотека .

Разделим отрезок Свойства функций, непрерывных на отрезке - №17 - открытая онлайн библиотека пополам точкой Свойства функций, непрерывных на отрезке - №21 - открытая онлайн библиотека . Если Свойства функций, непрерывных на отрезке - №22 - открытая онлайн библиотека , то теорема доказана и Свойства функций, непрерывных на отрезке - №23 - открытая онлайн библиотека , в противном случае через Свойства функций, непрерывных на отрезке - №24 - открытая онлайн библиотека обозначим ту из половин отрезка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №17 - открытая онлайн библиотека , для которой Свойства функций, непрерывных на отрезке - №26 - открытая онлайн библиотека .

Продолжим этот процесс построения промежутков. При этом либо мы после конечного числа шагов наткнемся в качестве точки деления на точку, в которой функция обращается в нуль, и доказательство теоремы завершится, либо получим бесконечную последовательность вложенных один в другой отрезков. Тогда для n-го отрезка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №27 - открытая онлайн библиотека имеем Свойства функций, непрерывных на отрезке - №28 - открытая онлайн библиотека , причем длина его Свойства функций, непрерывных на отрезке - №29 - открытая онлайн библиотека при Свойства функций, непрерывных на отрезке - №30 - открытая онлайн библиотека . По принципу вложенных отрезков Кантора (см. теорему 3 § 6) существует единственная точка с, принадлежащая всем этим отрезкам. Это точка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №31 - открытая онлайн библиотека . В силу непрерывности функции Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека в точке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №33 - открытая онлайн библиотека и Свойства функций, непрерывных на отрезке - №34 - открытая онлайн библиотека . Переходя в неравенствах Свойства функций, непрерывных на отрезке - №28 - открытая онлайн библиотека к пределу при Свойства функций, непрерывных на отрезке - №30 - открытая онлайн библиотека , получим, что одновременно Свойства функций, непрерывных на отрезке - №37 - открытая онлайн библиотека и Свойства функций, непрерывных на отрезке - №38 - открытая онлайн библиотека , откуда Свойства функций, непрерывных на отрезке - №5 - открытая онлайн библиотека . Теорема доказана.

Замечание. На доказанной теореме основан метод интервалов решения неравенств с одной переменной. Из теоремы следует, что функция, непрерывная на интервале Свойства функций, непрерывных на отрезке - №3 - открытая онлайн библиотека и не равная нулю ни в одной его точке, сохраняет знак на этом интервале. Поэтому, если функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна в области своего определения, то точки, в которых она обращается в нуль, разбивают область ее определения на интервалы, в которых функция сохраняет знак. Для определения знака Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека в интервале достаточно определить его в одной точке интервала. Объединение интервалов с требуемым знаком функции и является решением неравенства.

Пример 1. Решим неравенство Свойства функций, непрерывных на отрезке - №43 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Заметим, что функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №44 - открытая онлайн библиотека непрерывна в области своего определения Свойства функций, непрерывных на отрезке - №45 - открытая онлайн библиотека как элементарная функция. Она равна нулю в точках Свойства функций, непрерывных на отрезке - №46 - открытая онлайн библиотека и Свойства функций, непрерывных на отрезке - №47 - открытая онлайн библиотека . Поэтому Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека сохраняет знак в интервалах Свойства функций, непрерывных на отрезке - №49 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №50 - открытая онлайн библиотека . Знак функции в каждом интервале можно определить с помощью пробной точки. Получим следующее распределение знаков:

- -
Свойства функций, непрерывных на отрезке - №51 - открытая онлайн библиотека
Свойства функций, непрерывных на отрезке - №52 - открытая онлайн библиотека + – + – + –1 1 2 3

Записываем ответ: Свойства функций, непрерывных на отрезке - №53 - открытая онлайн библиотека .

Вторая теорема Больцано-Коши. Если функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека и на концах этого отрезка принимает различные значения Свойства функций, непрерывных на отрезке - №56 - открытая онлайн библиотека , то она принимает на этом отрезке любое значение Свойства функций, непрерывных на отрезке - №57 - открытая онлайн библиотека , лежащее между Свойства функций, непрерывных на отрезке - №58 - открытая онлайн библиотека и Свойства функций, непрерывных на отрезке - №59 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство. Пусть для определенности Свойства функций, непрерывных на отрезке - №60 - открытая онлайн библиотека . Надо доказать, что найдется точка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №61 - открытая онлайн библиотека , такая, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №62 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим вспомогательную функцию Свойства функций, непрерывных на отрезке - №63 - открытая онлайн библиотека . Эта функция непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека как разность непрерывных функций, Свойства функций, непрерывных на отрезке - №65 - открытая онлайн библиотека , т.е. на концах отрезка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №66 - открытая онлайн библиотека принимает значения разных знаков. По 1-й теореме Больцано-Коши найдется точка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №67 - открытая онлайн библиотека такая, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №68 - открытая онлайн библиотека , т.е. Свойства функций, непрерывных на отрезке - №69 - открытая онлайн библиотека или Свойства функций, непрерывных на отрезке - №62 - открытая онлайн библиотека . Теорема доказана.

Замечания. 1) 1-я теорема Больцано-Коши является частным случаем 2-й теоремы Больцано-Коши, когда Свойства функций, непрерывных на отрезке - №58 - открытая онлайн библиотека и Свойства функций, непрерывных на отрезке - №59 - открытая онлайн библиотека имеют разные знаки, а Свойства функций, непрерывных на отрезке - №73 - открытая онлайн библиотека .

2) 1-ю и 2-ю теоремы Больцано-Коши называют также теоремами о промежуточных значениях.

3) Теоремы Больцано-Коши могут быть использованы при решении уравнений.

Пример 2. Докажем, что уравнение Свойства функций, непрерывных на отрезке - №74 - открытая онлайн библиотека имеет корень на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №75 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Для функции Свойства функций, непрерывных на отрезке - №76 - открытая онлайн библиотека имеем Свойства функций, непрерывных на отрезке - №77 - открытая онлайн библиотека , поэтому по 1-й теореме Больцано-Коши найдется точка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №78 - открытая онлайн библиотека такая, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №5 - открытая онлайн библиотека .

Значение корня можно найти и более точно. Поскольку Свойства функций, непрерывных на отрезке - №80 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №81 - открытая онлайн библиотека ; Свойства функций, непрерывных на отрезке - №82 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №83 - открытая онлайн библиотека и т.д.

1-я теорема Вейерштрасса. Если функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека , то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека не ограничена на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека . Разобьем этот отрезок пополам. Тогда хотя бы на одной из половин отрезка функция будет неограниченной, обозначим эту половину через Свойства функций, непрерывных на отрезке - №13 - открытая онлайн библиотека . Отрезок Свойства функций, непрерывных на отрезке - №13 - открытая онлайн библиотека разделим пополам, ту его половину, на которой функция не ограничена, обозначим через Свойства функций, непрерывных на отрезке - №17 - открытая онлайн библиотека . Если функция не ограничена на обеих половинах отрезка, то можно выбрать любую из них, например, правую. Продолжая описанный процесс деления отрезков, получим стягивающуюся последовательность вложенных отрезков

Свойства функций, непрерывных на отрезке - №91 - открытая онлайн библиотека ,

на каждом из которых функция не ограничена. По принципу вложенных отрезков существует единственная точка с, принадлежащая всем этим отрезкам. Поскольку Свойства функций, непрерывных на отрезке - №61 - открытая онлайн библиотека , функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна в этой точке, то есть Свойства функций, непрерывных на отрезке - №94 - открытая онлайн библиотека . Поэтому существует окрестность Свойства функций, непрерывных на отрезке - №95 - открытая онлайн библиотека , в которой функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека ограничена. Так как длины отрезков Свойства функций, непрерывных на отрезке - №27 - открытая онлайн библиотека стремятся к нулю, то при каком-то n длина отрезка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №27 - открытая онлайн библиотека станет меньше Свойства функций, непрерывных на отрезке - №99 - открытая онлайн библиотека , то есть будет Свойства функций, непрерывных на отрезке - №100 - открытая онлайн библиотека . Поскольку функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека ограничена в окрестности Свойства функций, непрерывных на отрезке - №95 - открытая онлайн библиотека , она ограничена и на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №27 - открытая онлайн библиотека , что противоречит построению этого отрезка. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение о

◦ - - - ◦ Свойства функций, непрерывных на отрезке - №104 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №105 - открытая онлайн библиотека с Свойства функций, непрерывных на отрезке - №106 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №107 - открытая онлайн библиотека
Свойства функций, непрерывных на отрезке - №108 - открытая онлайн библиотека
неограниченности функции Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека неверно. Поэтому Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека ограничена на Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека . Теорема доказана.

Обозначим множество значений функции Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека , непрерывной на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека , через Свойства функций, непрерывных на отрезке - №115 - открытая онлайн библиотека . По доказанной теореме это множество ограничено. Поэтому оно имеет точную нижнюю границу Свойства функций, непрерывных на отрезке - №116 - открытая онлайн библиотека и точную верхнюю границу Свойства функций, непрерывных на отрезке - №117 - открытая онлайн библиотека . Функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека не может принимать на Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека значений, больших М и меньших m. Может ли Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека принимать на Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека значения М и m? Ответ дает

2-я теорема Вейерштрасса. Если функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека , то она достигает на этом отрезке своих точных нижней и верхней границ. Иными словами, найдутся точки Свойства функций, непрерывных на отрезке - №124 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека , такие, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №126 - открытая онлайн библиотека и Свойства функций, непрерывных на отрезке - №127 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство. Рассмотрим случай точной верхней границы. Предположим противное, то есть что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №128 - открытая онлайн библиотека . Введем вспомогательную функцию Свойства функций, непрерывных на отрезке - №129 - открытая онлайн библиотека . На отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека знаменатель в нуль не обращается, поэтому Свойства функций, непрерывных на отрезке - №66 - открытая онлайн библиотека – непрерывная на Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека функция как частное двух непрерывных функций. По 1-й теореме Вейерштрасса она ограничена, то есть существует число Свойства функций, непрерывных на отрезке - №133 - открытая онлайн библиотека , такое, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №134 - открытая онлайн библиотека . Тогда Свойства функций, непрерывных на отрезке - №135 - открытая онлайн библиотека , то есть М не является точной верхней границей значений функции Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека , что противоречит условию. Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно, то есть найдется точка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №61 - открытая онлайн библиотека , такая, Свойства функций, непрерывных на отрезке - №139 - открытая онлайн библиотека .

Аналогично рассматривается случай точной нижней границы. Теорема доказана.

Следствие. Если функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека , то множеством ее значений является отрезок Свойства функций, непрерывных на отрезке - №142 - открытая онлайн библиотека , где Свойства функций, непрерывных на отрезке - №143 - открытая онлайн библиотека и М – точные границы значений функции.

Доказательство. Действительно, по 2-й теореме Вейерштрасса Свойства функций, непрерывных на отрезке - №144 - открытая онлайн библиотека на Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека , а по 2-й теореме Больцано-Коши любое число Свойства функций, непрерывных на отрезке - №146 - открытая онлайн библиотека является значением функции Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека в некоторой точке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №148 - открытая онлайн библиотека , то есть Свойства функций, непрерывных на отрезке - №149 - открытая онлайн библиотека . Что и требовалось доказать.

Теорема (о существовании и непрерывности обратной функции). Пусть функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №150 - открытая онлайн библиотека определена на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека , возрастает и непрерывна на этом отрезке. Тогда на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №152 - открытая онлайн библиотека существует обратная функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №153 - открытая онлайн библиотека , которая возрастает и непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. В силу возрастания функции Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека ее наименьшее значение равно Свойства функций, непрерывных на отрезке - №58 - открытая онлайн библиотека , а наибольшее значение Свойства функций, непрерывных на отрезке - №59 - открытая онлайн библиотека . По доказанному выше следствию совокупностью значений Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека является отрезок Свойства функций, непрерывных на отрезке - №152 - открытая онлайн библиотека . Тогда любому значению Свойства функций, непрерывных на отрезке - №159 - открытая онлайн библиотека соответствует значение Свойства функций, непрерывных на отрезке - №160 - открытая онлайн библиотека , такое, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №161 - открытая онлайн библиотека , причем значение Свойства функций, непрерывных на отрезке - №162 - открытая онлайн библиотека единственное в силу возрастания Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека . Положим Свойства функций, непрерывных на отрезке - №164 - открытая онлайн библиотека . Таким образом определена обратная функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №153 - открытая онлайн библиотека , область определения которой – отрезок Свойства функций, непрерывных на отрезке - №152 - открытая онлайн библиотека . Тем самым существование обратной функции Свойства функций, непрерывных на отрезке - №153 - открытая онлайн библиотека доказано.

Докажем теперь, что функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №153 - открытая онлайн библиотека возрастает. Пусть Свойства функций, непрерывных на отрезке - №169 - открытая онлайн библиотека , Свойства функций, непрерывных на отрезке - №170 - открытая онлайн библиотека , Свойства функций, непрерывных на отрезке - №171 - открытая онлайн библиотека . Допустим, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №172 - открытая онлайн библиотека . Тогда Свойства функций, непрерывных на отрезке - №173 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №174 - открытая онлайн библиотека = = Свойства функций, непрерывных на отрезке - №175 - открытая онлайн библиотека , что противоречит условию Свойства функций, непрерывных на отрезке - №169 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, Свойства функций, непрерывных на отрезке - №177 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №178 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №179 - открытая онлайн библиотека – возрастающая функция. Докажем непрерывность обратной функции Свойства функций, непрерывных на отрезке - №153 - открытая онлайн библиотека в любой точке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №159 - открытая онлайн библиотека . Возьмем Свойства функций, непрерывных на отрезке - №182 - открытая онлайн библиотека произвольно. Надо показать, что найдется Свойства функций, непрерывных на отрезке - №183 - открытая онлайн библиотека такое, что Свойства функций, непрерывных на отрезке - №184 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №185 - открытая онлайн библиотека выполняется неравенство Свойства функций, непрерывных на отрезке - №186 - открытая онлайн библиотека или, иначе, Свойства функций, непрерывных на отрезке - №184 - открытая онлайн библиотека
Свойства функций, непрерывных на отрезке - №188 - открытая онлайн библиотека у

Свойства функций, непрерывных на отрезке - №189 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №190 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №191 - открытая онлайн библиотека f(b)

Свойства функций, непрерывных на отрезке - №192 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №193 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №194 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №195 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №196 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №197 - открытая онлайн библиотека y = f(x)

Свойства функций, непрерывных на отрезке - №198 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №199 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №200 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №201 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №202 - открытая онлайн библиотека

Свойства функций, непрерывных на отрезке - №203 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №204 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №205 - открытая онлайн библиотека

Свойства функций, непрерывных на отрезке - №206 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №207 - открытая онлайн библиотека

Свойства функций, непрерывных на отрезке - №208 - открытая онлайн библиотека f(a)

Свойства функций, непрерывных на отрезке - №209 - открытая онлайн библиотека О а Свойства функций, непрерывных на отрезке - №210 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №162 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №212 - открытая онлайн библиотека b х

Свойства функций, непрерывных на отрезке - №213 - открытая онлайн библиотека выполняется неравенство Свойства функций, непрерывных на отрезке - №214 - открытая онлайн библиотека .

Обозначим Свойства функций, непрерывных на отрезке - №215 - открытая онлайн библиотека через Свойства функций, непрерывных на отрезке - №162 - открытая онлайн библиотека . Тогда Свойства функций, непрерывных на отрезке - №217 - открытая онлайн библиотека , Свойства функций, непрерывных на отрезке - №218 - открытая онлайн библиотека , неравенство Свойства функций, непрерывных на отрезке - №214 - открытая онлайн библиотека равносильно неравенству Свойства функций, непрерывных на отрезке - №220 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №221 - открытая онлайн библиотека . В силу возрастания Свойства функций, непрерывных на отрезке - №1 - открытая онлайн библиотека Свойства функций, непрерывных на отрезке - №223 - открытая онлайн библиотека . Возьмем Свойства функций, непрерывных на отрезке - №183 - открытая онлайн библиотека такое, что окрестность Свойства функций, непрерывных на отрезке - №225 - открытая онлайн библиотека . Очевидно, что если Свойства функций, непрерывных на отрезке - №226 - открытая онлайн библиотека , то Свойства функций, непрерывных на отрезке - №227 - открытая онлайн библиотека , т.е. Свойства функций, непрерывных на отрезке - №228 - открытая онлайн библиотека , что и доказывает непрерывность Свойства функций, непрерывных на отрезке - №229 - открытая онлайн библиотека в точке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №202 - открытая онлайн библиотека . Поскольку Свойства функций, непрерывных на отрезке - №202 - открытая онлайн библиотека – любая точка отрезка Свойства функций, непрерывных на отрезке - №232 - открытая онлайн библиотека , функция Свойства функций, непрерывных на отрезке - №153 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №232 - открытая онлайн библиотека . Теорема доказана.

Замечание. Аналогичная теорема верна и для непрерывных убывающих на отрезке Свойства функций, непрерывных на отрезке - №2 - открытая онлайн библиотека функций. Утверждение остается верным и в случае, когда функция определена на бесконечном промежутке или не ограничена в области своего определения.