Свойства функции распределения

1 Свойства функции распределения - №1 - открытая онлайн библиотека (Это – свойство вероятности, а Свойства функции распределения - №2 - открытая онлайн библиотека - вероятность).

2 Свойства функции распределения - №2 - открытая онлайн библиотека - неубывающая функция по каждому из своих аргументов. (В самом деле, если Свойства функции распределения - №4 - открытая онлайн библиотека , то событие Свойства функции распределения - №5 - открытая онлайн библиотека включено в событие Свойства функции распределения - №6 - открытая онлайн библиотека , следовательно, его вероятность меньше)

3 Свойства функции распределения - №7 - открытая онлайн библиотека (события Свойства функции распределения - №8 - открытая онлайн библиотека Свойства функции распределения - №9 - открытая онлайн библиотека - невозможные, поэтому их вероятность равна нулю).

4 Свойства функции распределения - №10 - открытая онлайн библиотека (событие Свойства функции распределения - №11 - открытая онлайн библиотека достоверно).

5 Свойства функции распределения - №12 - открытая онлайн библиотека = Свойства функции распределения - №13 - открытая онлайн библиотека - Свойства функции распределения - №14 - открытая онлайн библиотека - Свойства функции распределения - №15 - открытая онлайн библиотека + Свойства функции распределения - №16 - открытая онлайн библиотека

       
  Свойства функции распределения - №17 - открытая онлайн библиотека
 
    Свойства функции распределения - №18 - открытая онлайн библиотека

Свойства функции распределения - №19 - открытая онлайн библиотека Свойства функции распределения - №20 - открытая онлайн библиотека Геометрически, Свойства функции распределения - №13 - открытая онлайн библиотека - площадь

полосы левее и ниже точки Свойства функции распределения - №22 - открытая онлайн библиотека ,

Вычитая из нее Свойства функции распределения - №14 - открытая онлайн библиотека и Свойства функции распределения - №15 - открытая онлайн библиотека ,

мы два раза вычтем площадь

полосы левее и ниже точки Свойства функции распределения - №25 - открытая онлайн библиотека .

Для того, чтобы получить

площадь прямоугольника –

левую часть равенства, надо

вычитать эту площадь один раз,

Свойства функции распределения - №26 - открытая онлайн библиотека поэтому надо добавить ее, т.е.

Свойства функции распределения - №16 - открытая онлайн библиотека в правую часть равенства.

6. Свойства функции распределения - №28 - открытая онлайн библиотека непрерывна слева по каждому из аргументов

7. Свойства функции распределения - №29 - открытая онлайн библиотека . Так как событие Свойства функции распределения - №30 - открытая онлайн библиотека достоверно, то пересечение событий Свойства функции распределения - №30 - открытая онлайн библиотека и Свойства функции распределения - №32 - открытая онлайн библиотека есть событие Свойства функции распределения - №32 - открытая онлайн библиотека . Поэтому первое равенство справедливо. Аналогично доказывается справедливость второго равенства.

Двумерная случайная величина (X,Y) дискретна, если X, Y - дискретные случайные величины. Для нее составляется таблица распределения – аналог ряда распределения для одномерной случайной величины.

  X Y
y1 y2 ….. ym PX
x1 p11 p12 p1m pX1
x2 p21 p22 p2m pX2
…….
xn pn1 pn2 pnm pXn
PY pY1 pY2 pYm  

pnm = Свойства функции распределения - №34 - открытая онлайн библиотека , pYm = Свойства функции распределения - №35 - открытая онлайн библиотека = p1m+ p2m +…+pnm, pXn = pn1 + pn2 + … +pnm.

График функции распределения для двумерной случайной величины напоминает «лестницу», уровень ступеней которой изменяется скачком на pij при переходе через точку (xi , yj) в положительном направлении по оси OX и по оси OY. Если зафиксировать x = xi, то при увеличении y эти скачки будут на pi1, pi2, … pim (от нуля до pXi ). Если зафиксировать y = yj, то при увеличении x скачки будут на p1j, p2j, … pnj (от нуля до pYj). Нижние ступени (при x Свойства функции распределения - №36 - открытая онлайн библиотека x1 и y Свойства функции распределения - №36 - открытая онлайн библиотека y1) находятся на нулевом уровне, самая верхняя ступень (при x>xn, y>ym) находится на уровне 1. Если зафиксировать x > xn то при увеличении y эти скачки будут на pY1, pY2, … pYm (от нуля до 1). Если зафиксировать y > ym, то при увеличении x скачки будут на pX1, pX2, … pXn (от нуля до 1).

Пример. Проводятся два выстрела в мишень. При каждом выстреле вероятность попадания p, вероятность промаха q = 1- p. Случайная величина Xi – число попаданий при i – том выстреле. Найдем закон распределения случайного вектора (X1, X2)= Свойства функции распределения - №38 - открытая онлайн библиотека .

  X Y
y1=0 y2=1 PX
x1=0 q2 qp pX1=q
x2=1 pq p2 pX2=p
PY pY1=q pY2=p  

Построим функцию распределения

Свойства функции распределения - №39 - открытая онлайн библиотека . В самом деле, при Свойства функции распределения - №40 - открытая онлайн библиотека – событие{X<x,Y<y} - невозможное, при (x>1, y>1) событие {X<x,Y<y} – достоверное.

При Свойства функции распределения - №41 - открытая онлайн библиотека событие {X<x,Y<y} представляет собой событие {X=0,Y=0}. Поэтому при Свойства функции распределения - №41 - открытая онлайн библиотека Свойства функции распределения - №43 - открытая онлайн библиотека F(x) = P{X=0,Y=0}= q2.

При Свойства функции распределения - №43 - открытая онлайн библиотека событие {X<x,Y<y} представляет собой объединение несовместных событий {X=0,Y=0} и {X=1,Y=0}. Поэтому при Свойства функции распределения - №43 - открытая онлайн библиотека F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=0}= q2 + pq = q(p+q)=q. Аналогично, в случае Свойства функции распределения - №46 - открытая онлайн библиотека F(x) = P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1}= q2 + pq = q(p+q)=q.

Двумерная случайная величина непрерывна, если X, Y, непрерывные случайные величины и ее функцию распределения можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла от плотности распределения.

Свойства функции распределения - №47 - открытая онлайн библиотека .

Двойной интеграл можно записать в виде повторных (внешний по x, внутренний по y и наоборот). Если предполагать непрерывность плотности по x и y, то, дифференцируя по переменным верхним пределам, получим

Свойства функции распределения - №48 - открытая онлайн библиотека Получить!