Свойства функции распределения

Случайная величина

Пусть имеется вероятностное пространство Свойства функции распределения - №1 - открытая онлайн библиотека .

Случайной величиной называется измеримая числовая функция Свойства функции распределения - №2 - открытая онлайн библиотека . Измеримая числовая функция Свойства функции распределения - №3 - открытая онлайн библиотека – это функция, удовлетворяющая следующему условию: Свойства функции распределения - №4 - открытая онлайн библиотека множество Свойства функции распределения - №5 - открытая онлайн библиотека , т.е. оно является событием.

В соответствии с определением случайной величины вводится числовая функция F(x), определенная для каждого действительного x и по определению равная вероятности наступления события: Свойства функции распределения - №6 - открытая онлайн библиотека Эта функция называется функцией распределения случайной величины. В дальнейшем событие Свойства функции распределения - №5 - открытая онлайн библиотека будем обозначать сокращенно Свойства функции распределения - №8 - открытая онлайн библиотека .

Из измеримости случайной величины следует, что большинство подмножеств элементарного пространства W, задаваемые «простыми» равенствами и неравенствами, являются событиями. Так, множества вида Свойства функции распределения - №9 - открытая онлайн библиотека , Свойства функции распределения - №10 - открытая онлайн библиотека , Свойства функции распределения - №11 - открытая онлайн библиотека , Свойства функции распределения - №12 - открытая онлайн библиотека являются событиями.

Говорят, что для случайной величины задан закон ее распределения, если известна такая функция, при помощи которой можно найти вероятность любого события, «порождаемого» этой случайной величиной. Функция распределения как раз задает закон распределения случайной величины.

Свойства функции распределения.

Пусть F(x) – функция распределения случайной величины Свойства функции распределения - №13 - открытая онлайн библиотека

1) Свойства функции распределения - №14 - открытая онлайн библиотека ;

2) Свойства функции распределения - №15 - открытая онлайн библиотека ;

3) F(x) – неубывающая функция;

4) F(x) непрерывна слева;

5) Свойства функции распределения - №16 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство. Неравенства 1 следуют из того, что F(x) – вероятность. Событие Свойства функции распределения - №17 - открытая онлайн библиотека , а Свойства функции распределения - №18 - открытая онлайн библиотека , следовательно, свойства 2 следуют из равенств Свойства функции распределения - №19 - открытая онлайн библиотека Если x < t, то Свойства функции распределения - №20 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, из свойства вероятности следует, что Свойства функции распределения - №21 - открытая онлайн библиотека . Доказательство 4 опускаем. Докажем свойство 5. Свойства функции распределения - №22 - открытая онлайн библиотека + Свойства функции распределения - №23 - открытая онлайн библиотека = Свойства функции распределения - №24 - открытая онлайн библиотека и события Свойства функции распределения - №22 - открытая онлайн библиотека и Свойства функции распределения - №23 - открытая онлайн библиотека несовместны, значит Свойства функции распределения - №27 - открытая онлайн библиотека = Свойства функции распределения - №28 - открытая онлайн библиотека + Свойства функции распределения - №29 - открытая онлайн библиотека . Откуда следует Свойства функции распределения - №16 - открытая онлайн библиотека .

3.2 Дискретные случайные величины

Случайные величины в дальнейшем будем обозначать большими латинскими буквами: X, Y, Z, … .

Случайная величина называется дискретной, если в результате испытания она может принять значение из конечного либо счетного множества возможных числовых значений. Будем пользоваться сокращением ДСВ для обозначения дискретной случайной величины.

Закон распределения ДСВ Х можно задать в виде функции, ставящей в соответствие каждому значению xi ее вероятность pi = P(X = xi), причем Свойства функции распределения - №31 - открытая онлайн библиотека .

Когда различных значений ДСВ конечно и равно n, то ее закон распределения задается в виде таблицы ( Свойства функции распределения - №32 - открытая онлайн библиотека ):

x1 x2 xn
p1 p2 pn

Очевидно, должно выполняться равенство Свойства функции распределения - №31 - открытая онлайн библиотека .

Построим функцию распределения для ДВС. По определению

Свойства функции распределения - №34 - открытая онлайн библиотека .

Свойства функции распределения - №35 - открытая онлайн библиотека График функции распределения ДВС Рисунок 3.1  

т.е. для любого действительного х значение F(x) численно равно вероятности наступления следующего события: в результате испытаний над X она приняла значение строго меньшее x. Эта функция является кусочно-постоянной (ступенчатой), ее график см. на рисунке 3.1.

Пример 3.1Хчисло очков, выпавшее при однократном вбрасывании игрального кубика. Закон распределения Х имеет вид

Свойства функции распределения - №36 - открытая онлайн библиотека Свойства функции распределения - №36 - открытая онлайн библиотека Свойства функции распределения - №36 - открытая онлайн библиотека

Это так называемое равномерное дискретное распределение.

Пример 3.2Х – число успехов в схеме Бернулли. Пусть n – число испытаний, p – вероятность успеха, q=1–p. Тогда закон распределения случайной величины Х задается соответствием Свойства функции распределения - №39 - открытая онлайн библиотека , i=1, …, n. Студенту предлагается доказать, что Свойства функции распределения - №40 - открытая онлайн библиотека . Этот закон называется биномиальным и будем в дальнейшем обозначать B(n,p).

Пример 3.3Х – число обращений клиентов в сервисный центр по ремонту бытовой техники фирмы SONY (см. пример 1.2). Из практики следует, что закон распределения имеет вид Свойства функции распределения - №41 - открытая онлайн библиотека , i = 0, 1, … . Это распределение называется распределением Пуассона и будем в дальнейшем обозначать P(l). Студенту предлагается доказать, что Свойства функции распределения - №42 - открытая онлайн библиотека .

3.4 Непрерывные случайные величины

Будем рассматривать пространство элементарных событий как совокупность всех точек числовой оси. Случайная величина X называется непрерывно распределенной (или непрерывной), если ее функция распределения является непрерывной. Для непрерывной случайной величины примем сокращение НСВ.

Примеры.X – время безотказной работы телевизора (см. пример 1.3). X – рост взрослого человека.

Пусть X – НСВ. Найдем вероятность того, что в результате испытаний случайная величина X примет значение a Î R. Докажем, что P(X = a)=0.

Так как Свойства функции распределения - №43 - открытая онлайн библиотека , то Свойства функции распределения - №44 - открытая онлайн библиотека .

Следовательно

Свойства функции распределения - №45 - открытая онлайн библиотека

= Свойства функции распределения - №46 - открытая онлайн библиотека .

Заметим, что в случае ДСВ вероятность P(X = a) не всегда равна нулю.