Свойства сходящихся последовательностей

1. Единственность.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

2. Арифметические действия.

Теорема: Если последовательности {xn} и {yn} сходящиеся, причем Свойства сходящихся последовательностей - №1 - открытая онлайн библиотека и Свойства сходящихся последовательностей - №2 - открытая онлайн библиотека , тогда Свойства сходящихся последовательностей - №3 - открытая онлайн библиотека ; Свойства сходящихся последовательностей - №4 - открытая онлайн библиотека ; Свойства сходящихся последовательностей - №5 - открытая онлайн библиотека при условии Свойства сходящихся последовательностей - №6 - открытая онлайн библиотека .

3. Необходимое условие сходимости.

Теорема Больцано-Вейерштрасса:

Сходящаяся последовательность ограничена.

Док-во:

Пусть последовательность {хn} сходится Þ существует конечный предел Свойства сходящихся последовательностей - №7 - открытая онлайн библиотека Þ по определению: для "e > 0 $ номер N, начиная с которого Свойства сходящихся последовательностей - №8 - открытая онлайн библиотека .

Из неравенства: Свойства сходящихся последовательностей - №9 - открытая онлайн библиотека .

Выберем С=max { Свойства сходящихся последовательностей - №10 - открытая онлайн библиотека }.

Значит, для членов последовательности {xn} выполняется неравенство Свойства сходящихся последовательностей - №11 - открытая онлайн библиотека . Тогда по определению последовательность {xn} ограничена.

Ч.т.д.

4. Достаточные условия существования предела.

Определение: Последовательность {xn} называется возрастающей (неубывающей), если x1<x2<… (x1£x2£…).

Пример: 1<2<3<4<…, {xn} – возрастает.

1£1<2£2<3£3…, {xn} - неубывающая.

Определение: Последовательность {xn} называется убывающей (невозрастающей), если x1>x2>… (x1³x2³…).

Пример: 1>1/2>1/4>…, {xn} – убывающая.

1³1/2³1/2>1/3³1/3>…, {xn} - невозрастает.

Теорема1: Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.

Теорема2: Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.

Док-во:

Докажем теорему 1.

{xn} возрастет Þ x1<x2<….

{xn} ограничена сверху Þ существует число М такое, что при "n xn Свойства сходящихся последовательностей - №12 - открытая онлайн библиотека М. Отступим от М на e, тогда существует номер N, начиная с которого

М-e< xn Свойства сходящихся последовательностей - №12 - открытая онлайн библиотека М.

xn

М

М-e

0 1 2 3 4 n

Усилим правую часть неравенства:

М-e< xn<М+e, т.е. Свойства сходящихся последовательностей - №14 - открытая онлайн библиотека .

Значит, для "e > 0 $ номер N, начиная с которого справедливо

Свойства сходящихся последовательностей - №14 - открытая онлайн библиотека . Þ Свойства сходящихся последовательностей - №16 - открытая онлайн библиотека . Þ по определению: {xn} сходится.

Теорема 2 доказывается аналогично.

Ч.т.д.

Предел функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a, за исключением, может быть самой точки.

1) Определение предела функции на языке Свойства сходящихся последовательностей - №17 - открытая онлайн библиотека :

Число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдется число d(e)>0 такое, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<d, следует неравенство |f(x)-A|<e.

Свойства сходящихся последовательностей - №18 - открытая онлайн библиотека Þ "e>0 $d>0: из |x-a|<d Þ |f(x)-А|<e.

Свойства сходящихся последовательностей - №19 - открытая онлайн библиотека

y

A

Свойства сходящихся последовательностей - №19 - открытая онлайн библиотека

х
 
  Свойства сходящихся последовательностей - №21 - открытая онлайн библиотека Свойства сходящихся последовательностей - №22 - открытая онлайн библиотека Свойства сходящихся последовательностей - №23 - открытая онлайн библиотека

Интервал (a-d, a+d) на оси ОХ называется дельта-окрестностью точки a.

Интервал (A-e, A+e) на оси ОY называется эпсилон-окрестностью точки A.

Функция y=f(x) переводит каждую точку из d-окрестности точки a на оси ОХ внутрь ε-окресности точки А на оси ОY.

2) Определение предела на языке окрестности:

Число A называется пределом функции при x®a, если для любой сколь угодно малой e-окрестности точки A на оси ОY найдется d-окрестность точки a на оси ОХ, которую функция переводит в e-окрестность.

3) Определение предела на языке последовательности:

Число A называется пределом функции f(x) при x®a, если для любой последовательности {xn}, сходящейся к точке a, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к A.

4) Правый и левый пределы.

Определение: Если есть xn®a и xn<a, то число A называется левым пределом функции при x®a-0.

Свойства сходящихся последовательностей - №24 - открытая онлайн библиотека .

Определение: Если xn®a и xn>a, то число A называют правым пределом функции при x®a+0.

Свойства сходящихся последовательностей - №25 - открытая онлайн библиотека .

Такие пределы называются односторонние.

Замечание 1: Для существования предела функции не требуется, чтобы функция была определена в самой точке x=a, достаточно того, что она определена в ее окрестности.

Замечание 2: На последовательность {xn} можно смотреть как на функцию натурального аргумента xn=f(n), nÎN. Поэтому все свойства пределов и теоремы для пределов функции справедливы и для предела последовательности.