Свойства степенных рядов

1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (– R; R).

2. Степенные ряды Свойства степенных рядов - №1 - открытая онлайн библиотека и Свойства степенных рядов - №2 - открытая онлайн библиотека , имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

Свойства степенных рядов - №3 - открытая онлайн библиотека

Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке внутри интервала сходимости:

Свойства степенных рядов - №4 - открытая онлайн библиотека

Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Ряд Тейлора

Функцию f(x) можно представить в виде бесконечного степенного ряда, который называется рядом Тейлора:

Свойства степенных рядов - №5 - открытая онлайн библиотека

Частный случай этого ряда при a = 0 называется рядом Маклорена:

Свойства степенных рядов - №6 - открытая онлайн библиотека

! Примеры: Свойства степенных рядов - №7 - открытая онлайн библиотека ,

Свойства степенных рядов - №8 - открытая онлайн библиотека

Значение функции в точке x = b можно приближенно найти с помощью ограниченного ряда Тейлора (с помощью первых n членов) (формула Тейлора):

Свойства степенных рядов - №9 - открытая онлайн библиотека (1),

допустив при этом ошибку (остаточный член Лагранжа):

Свойства степенных рядов - №10 - открытая онлайн библиотека , (2)

где x - некоторое число, лежащее между a и b.

Коши доказал, что f(x) разлагается в ряд Тейлора, если Свойства степенных рядов - №11 - открытая онлайн библиотека .

@ Задача 3. Найти формулы для вычисления чисел e, Свойства степенных рядов - №12 - открытая онлайн библиотека и функции Свойства степенных рядов - №13 - открытая онлайн библиотека .

Решение: e и Свойства степенных рядов - №12 - открытая онлайн библиотека находятся с помощью формулы (1) и остаточного члена (2):

Свойства степенных рядов - №15 - открытая онлайн библиотека , Свойства степенных рядов - №16 - открытая онлайн библиотека ,

Свойства степенных рядов - №17 - открытая онлайн библиотека , Свойства степенных рядов - №18 - открытая онлайн библиотека Свойства степенных рядов - №19 - открытая онлайн библиотека .

Функция Свойства степенных рядов - №13 - открытая онлайн библиотека находится с помощью выражения для f(x) (формула (1), только вместо b нужно подставить x) и остаточного члена (2):

Свойства степенных рядов - №21 - открытая онлайн библиотека , Свойства степенных рядов - №22 - открытая онлайн библиотека .