Свойства пределов последовательностей

1. Если последовательность an – ограничена и монотонна, то она сходится (т. е. имеет предел)

2. Если последовательности an, bn – сходятся, то:

a) Свойства пределов последовательностей - №1 - открытая онлайн библиотека

b) Свойства пределов последовательностей - №2 - открытая онлайн библиотека

c) Свойства пределов последовательностей - №3 - открытая онлайн библиотека (c= const)

d) Свойства пределов последовательностей - №4 - открытая онлайн библиотека (при условии Свойства пределов последовательностей - №5 - открытая онлайн библиотека )

e) Свойства пределов последовательностей - №6 - открытая онлайн библиотека

3. Если Свойства пределов последовательностей - №7 - открытая онлайн библиотека - б. м., gn – ограничена, то Свойства пределов последовательностей - №8 - открытая онлайн библиотека , т. е. angn – б. м.

Пример 2 Найти Свойства пределов последовательностей - №9 - открытая онлайн библиотека

4Имеем произведение двух последовательностей:

Свойства пределов последовательностей - №10 - открытая онлайн библиотека – б. м. и bn=sin (n) – ограничена (–1£ sin (n) £ 1)

В соответствии со свойством (3): Свойства пределов последовательностей - №11 - открытая онлайн библиотека - б. м. и Свойства пределов последовательностей - №12 - открытая онлайн библиотека .

Задача 3 (Ряд Фибоначчи)

Сформулирована знаменитым итальянским математиком Леонардо из Пизы (прозванным Фибоначчи) в книге об абаке в 1202 году. Суть в подсчете потомства от одной пары кроликов (включая родительскую пару) по месяцам, если известно, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рожают кролики регулярно со второго месяца после рождения. Такая своего рода математическая модель воспроизводства кроликов может быть проиллюстрирована графическим деревом (дендрограммой) размножения и описывается числовым рядом (рядом Фибоначчи):

Свойства пределов последовательностей - №13 - открытая онлайн библиотека

Если обозначим un – общее количество образовавшихся пар кроликов в n й месяц, то для последовательности

un = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,...

Закономерно выполняется un+2=un+un+1.

Вопрос: сколько пар кроликов образуется от одной пары через год?

4Достаточно вычислить 12 членов ряда Фибоначчи:

un=1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233

т. е. через год от одной пары кроликов (если принять за начало отсчета новорожденную пару) образуется 233 пары кроликов (включая родительскую).