Свойства пересечения и объединения множеств

Из школьного курса математики известно, что операция, при помощи которой находят сумму чисел, называется сложе­нием. Над числами выполняют и другие операции, например умножение, вычитание, деление; при этом результат умноже­ния чисел называют произведением, деления - частным, т.е. для операций над числами и результатов этих операций суще­ствуют разные термины. Для рассмотренных операций над множествами ситуация иная: операции, при помощи которых находят пересечение и объединение множеств, называются соответственно пересечением и объединением.

Из школьного курса математики нам также известно, что операции над числами обладают рядом свойств. Например, сложение действительных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: для любых действительных чисел а и Ь справедливо равенство а + b = b + а, а для любых чисел a, b и с - равенство (а + b)+ с = а + b+ с).

Аналогичными свойствами обладает умножение действи­тельных чисел. Кроме того, для сложения и умножения выпол­няется распределительное свойство: для любых действительных чисел а, b и с справедливо равенство: (а+b) · с = а · с + b ·с.

Выясним, обладают ли «похожими» свойствами пересече­ние и объединение множеств.

Если обратиться к определениям пересечения и объедине­ния множеств, то можно увидеть, что в них не фиксируется порядок оперирования множествами. Например, выполняя объединение, можно к элементам одного множества присоединить элементы другого, а можно поступить наоборот: к элементам второго множества присоединить элементы перво­го. (При этом надо только помнить, что в новом множестве не должно быть повторяющихся элементов.) Аналогичная си­туация и в случае, когда выполняется пересечение множеств. Это означает, что пересечение и объединение множеств обла­дают переместительным, или, как говорят в математике, ком­мутативным свойством: для любых множеств А и В выпол­няются равенства: А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека В = В Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека A и A Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека B = B Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека A.

Пересечение и объединение множеств обладают также со­четательным, или ассоциативным, свойством: для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С = А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С и (А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С = А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С).

Заметим, что назначение скобок в этих записях то же, что и в записях операций над числами.

Свойство ассоциативности для пересечения и объединения множеств не столь очевидно, как свойство коммутативности, и поэтому нуждается в доказательстве. Но прежде можно эти свойства проиллюстрировать при помощи кругов Эйлера. Рассмотрим, например, ассоциативное свойство пересечения множеств. Изобразим множества А, В и С в виде трех попарно пересекающихся кругов (рис. 9).

В выражении (А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С скобки определяют следующий порядок действий: сначала выполняется пересечение множеств А и В - оно показано на рисунке 9а вертикальной штрихов­кой, а затем находят пересечение полученного множества и множества С. Если выделить множество С горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, будет изо­бражать множество (А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С.

Представим теперь наглядно множество А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С). В соответствии с указанным порядком действий сначала

Свойства пересечения и объединения множеств - №19 - открытая онлайн библиотека

надо найти пересечение множеств В и С - на рисунке 96 оно показано вертикальной штриховкой, а затем выполнить пересечение множества А с полученным множеством. Если отметить множество А горизонтальной штриховкой, то область, заштрихованная дважды, и будет изображать множество А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С).

Видим, что области, представляющие на рисунке 9 множества (А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С и А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С), одинаковы, что и подтверждает справедливость свойства ассоциативности для пересечения множеств.

Аналогично можно проиллюстрировать свойство ассоциативности и для объединения множеств.

В чем важность ассоциативного свойства пересечения и объединения множеств? Во-первых, можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делать для двух. Во-вторых, на основании этого свойства в выражениях А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С), (А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С, А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С), (А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С можно опускать скобки и писать А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека В Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С или А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С, что облегчает запись.

Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А,В и С справедливо равенство (А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека B) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека C = А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека (B Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С).

Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедиться в том, что каждый элемент множества (А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С содержится в множестве А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С), и наоборот.

1. Пусть х - любой элемент множества (А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С. Тогда, по определению объединения, х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В или х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека С.

Если х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В, то, по определению объединения, х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А или х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека В. В том случае, когда х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А, то, также по определению объединения, х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С).

Если х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека В, то имеем, что х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека В Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С, а значит, х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С). Случай, когда х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А и х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В, следует, что х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С).

Если х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека С, то, по определению объединения, х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека В Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С, и следовательно, х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С).

Случай, когда х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В и х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека С, сводится к рассмотренным выше.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества (А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С содержится и в множестве А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С), т.е. (А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С Свойства пересечения и объединения множеств - №87 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С).

2. Пусть y - любой элемент множества А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С). Тогда, по определению объединения, у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А или у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека В Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С.

Если y Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А, то, по определению объединения, у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В и, следовательно, у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А и Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С).

Если y Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека В Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С, то у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека В или у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека C. B том случае, когда у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека В, то у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В и, значит, у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В) и С. Когда же у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека С, то у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека B) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека C. Случай, когда у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека В и у Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека С, сводится к уже рассмотренным.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека (B Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С) содержится в множестве (A Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С, т.е. А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С) Свойства пересечения и объединения множеств - №87 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №87 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №87 - открытая онлайн библиотека С.

Согласно определению равных множеств заключаем, что (А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С = А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С), что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств.

Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:

1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В к С выполняется равенство

Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С = (А Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека С).

2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство

Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека В) Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С = (А Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С) Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотекаСвойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека С).

Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение. В связи со сказанным запись дистрибутивного свойства пересечения относительно объединения можно упростить, опустив скобки в правой части равенства.

Убедиться в справедливости сформулированных свойств можно путем доказательства, которое аналогично доказательству свойства ассоциативности объединения.

Проиллюстрировать свойства дистрибутивности можно, используя круги Эйлера.

Если провести аналогию с действиями над числами, то можно увидеть, что дистрибутивное свойство пересечения относительно объединения сопоставимо с распределительным свойством умножения относительно сложения, при условии, что в качестве операции, аналогичной пересечению, рассматривать умножение, а для объединения - сложение.

Но для дистрибутивного свойства объединения множеств относительно пересечения аналогичного свойства над числами нет.

Действительно, наличие такого свойства означало бы, что для всех чисел выполняется равенство а - b + с = (а + с) - (b + с), что невозможно. Подмеченное отличие говорит о том, что наряду с тем, что пересечение и объединение множеств обладают рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел, операции над множествами обладают свойствами, которых нет у операций над числами.

Завершая рассмотрение свойств пересечения и объединения множеств, отметим еще следующее.

Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств:

А1 Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека А2 Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека ... Свойства пересечения и объединения множеств - №1 - открытая онлайн библиотека Аn = {х | х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А1 и х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А2 и... и х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека Аn},

А1 Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека А2 Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека ... Свойства пересечения и объединения множеств - №3 - открытая онлайн библиотека Аn = {х | х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А1 или х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека А2 или ... или х Свойства пересечения и объединения множеств - №48 - открытая онлайн библиотека Аn},

Аналогично можно поступить и по отношению к рассмотренным свойствам данных операций.