Свойства непрерывных функций

1. Сумма, произведение и частное двух непрерывных функций являются непрерывной функцией.

Док-во:

Докажем непрерывность суммы непрерывных функций.

Пусть f(x) и φ(x) непрерывны.

По первому определению непрерывности: Свойства непрерывных функций - №1 - открытая онлайн библиотека , Свойства непрерывных функций - №2 - открытая онлайн библиотека .

Рассмотрим Свойства непрерывных функций - №3 - открытая онлайн библиотека

Свойства непрерывных функций - №4 - открытая онлайн библиотека по первому определению сумма непрерывна в точке х0.

Непрерывность произведения и частного непрерывных функций доказывается аналогично.

Ч.т.д.

2. У непрерывной функции знак предела и знак функции можно менять местами.

Если f(x) ‒ непрерывная функция, то Свойства непрерывных функций - №5 - открытая онлайн библиотека .

Док-во: По первому определению непрерывности

Свойства непрерывных функций - №6 - открытая онлайн библиотека .

Ч.т.д.

3. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения. y=xn, y=sin x, y=ex,…

Док-во:

а) y=const.

Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.

Тогда функция получит приращение:

Свойства непрерывных функций - №7 - открытая онлайн библиотека .

Свойства непрерывных функций - №8 - открытая онлайн библиотека , т.к. Свойства непрерывных функций - №9 - открытая онлайн библиотека .

По второму определению непрерывности y=const непрерывна в своей области определения.

б) y=x.

Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.

Свойства непрерывных функций - №10 - открытая онлайн библиотека .

По второму определению непрерывности:

Свойства непрерывных функций - №11 - открытая онлайн библиотека .

y=x непрерывна в своей области определения.

в) y=sinx.

Возьмем произвольное значение х и дадим приращение Δx.

Свойства непрерывных функций - №12 - открытая онлайн библиотека

По второму определению непрерывности:

Свойства непрерывных функций - №13 - открытая онлайн библиотека

Свойства непрерывных функций - №14 - открытая онлайн библиотека 0 Свойства непрерывных функций - №15 - открытая онлайн библиотека cosx

как произведение б/м на ограниченную функцию. Свойства непрерывных функций - №16 - открытая онлайн библиотека y=sinx непрерывна при Свойства непрерывных функций - №17 - открытая онлайн библиотека .

Ч.т.д.

4. Пусть функция x=x(t) непрерывна в точке t0. Пусть функция y=y(x) непрерывна в точке x0, где x0=x(t0) . Тогда сложная функция y=y(x(t)) непрерывна в точке t0.

Док-во:

Свойства непрерывных функций - №18 - открытая онлайн библиотека

Тогда по первому определению сложная функция непрерывна в точке х0.

Ч.т.д.