Свойства неопределённого интеграла

Неопределённый интеграл обладает след. Основными свойствами.

1. Производная неопределённого интеграла равна подинтегральной функции; дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению:

Свойства неопределённого интеграла - №1 - открытая онлайн библиотека

Свойства неопределённого интеграла - №2 - открытая онлайн библиотека

(т.е. знаки в и Свойства неопределённого интеграла - №3 - открытая онлайн библиотека , тогда первый помещен перед вторым , взаимно сокращаются ).

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого:

Свойства неопределённого интеграла - №4 - открытая онлайн библиотека

(т.е. знаки dи Свойства неопределённого интеграла - №5 - открытая онлайн библиотека сокращается и тогда, когда d стоит после Свойства неопределённого интеграла - №6 - открытая онлайн библиотека ,только при этом к рез – ту нужно прибавить производную постоянную.)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла.

Свойства неопределённого интеграла - №7 - открытая онлайн библиотека (k=const)

4. Неопределённый интеграл от суммы нескольких слагаемых функции.

так, для 2-х слагаемых:

Свойства неопределённого интеграла - №8 - открытая онлайн библиотека . (*)

При вычислении неопределенного интегралов полезно знать следующее правило:

Если Свойства неопределённого интеграла - №9 - открытая онлайн библиотека то Свойства неопределённого интеграла - №10 - открытая онлайн библиотека

Дано, Свойства неопределённого интеграла - №11 - открытая онлайн библиотека Свойства неопределённого интеграла - №12 - открытая онлайн библиотека

Свойства неопределённого интеграла - №13 - открытая онлайн библиотека

Свойства неопределённого интеграла - №14 - открытая онлайн библиотека

Пример6.6.4. Свойства неопределённого интеграла - №15 - открытая онлайн библиотека Свойства неопределённого интеграла - №16 - открытая онлайн библиотека .

Проверка: Свойства неопределённого интеграла - №17 - открытая онлайн библиотека .

(следует, равенство Свойства неопределённого интеграла - №18 - открытая онлайн библиотека выполняется).

Свойства неопределённого интеграла - №19 - открытая онлайн библиотека .

Таблица основных неопределенных интегралов

Таблицу простейших неопределённых интегралов нетрудно получить, воспользовавшись тем, что интегрирование является операцией, обратной дифференцированию.

Будем исходить из следующего: если Свойства неопределённого интеграла - №20 - открытая онлайн библиотека , то Свойства неопределённого интеграла - №21 - открытая онлайн библиотека .

Например 6.6.5.Поскольку Свойства неопределённого интеграла - №22 - открытая онлайн библиотека то Свойства неопределённого интеграла - №23 - открытая онлайн библиотека .

Применяя аналогичное рассуждение к каждой из формул таблицы дифференциалов, получаем следующую таблицу простейших неопределённых интегралов:

1. Свойства неопределённого интеграла - №24 - открытая онлайн библиотека .

2. Свойства неопределённого интеграла - №25 - открытая онлайн библиотека Свойства неопределённого интеграла - №26 - открытая онлайн библиотека Свойства неопределённого интеграла - №27 - открытая онлайн библиотека

3. Свойства неопределённого интеграла - №28 - открытая онлайн библиотека .

4. Свойства неопределённого интеграла - №29 - открытая онлайн библиотека Свойства неопределённого интеграла - №30 - открытая онлайн библиотека . 4a. Свойства неопределённого интеграла - №31 - открытая онлайн библиотека .

5. Свойства неопределённого интеграла - №32 - открытая онлайн библиотека .

6. Свойства неопределённого интеграла - №33 - открытая онлайн библиотека .

7. Свойства неопределённого интеграла - №34 - открытая онлайн библиотека .

8. Свойства неопределённого интеграла - №35 - открытая онлайн библиотека .

9. Свойства неопределённого интеграла - №36 - открытая онлайн библиотека .

10. Свойства неопределённого интеграла - №37 - открытая онлайн библиотека .

11. Свойства неопределённого интеграла - №38 - открытая онлайн библиотека .

12. Свойства неопределённого интеграла - №39 - открытая онлайн библиотека .

13. Свойства неопределённого интеграла - №40 - открытая онлайн библиотека .

14. Свойства неопределённого интеграла - №41 - открытая онлайн библиотека .

15. Свойства неопределённого интеграла - №42 - открытая онлайн библиотека .

16. Свойства неопределённого интеграла - №43 - открытая онлайн библиотека .

17. Свойства неопределённого интеграла - №44 - открытая онлайн библиотека .

18. Свойства неопределённого интеграла - №45 - открытая онлайн библиотека .

19. Свойства неопределённого интеграла - №46 - открытая онлайн библиотека . (если Свойства неопределённого интеграла - №47 - открытая онлайн библиотека ).

20. Свойства неопределённого интеграла - №48 - открытая онлайн библиотека .

21. Свойства неопределённого интеграла - №49 - открытая онлайн библиотека .

22. Свойства неопределённого интеграла - №50 - открытая онлайн библиотека

Пример6.6.6. Свойства неопределённого интеграла - №51 - открытая онлайн библиотека Свойства неопределённого интеграла - №52 - открытая онлайн библиотека .

Пример6.6.7. Свойства неопределённого интеграла - №53 - открытая онлайн библиотека Свойства неопределённого интеграла - №54 - открытая онлайн библиотека .

Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех промежутках, в которых определены соответствующие функции. Например, формула 3 справедлива для любого промежутка, не содержащего точку х=0, формула 9 – для интервала Свойства неопределённого интеграла - №55 - открытая онлайн библиотека и т.п.

Эти формулы часто употребляются, поэтому их необходимо помнить наизусть.

Основные формулы интегрирования получаются путем обращения формул для производных, поэтому перед изучением настоящей темы необходимо повторить основные формулы дифференцирования функций.

Сравнивая операции дифференцирования и интегрирования функций, видим:

1) если для дифференцируемости функции непрерывность функции является условием необходимым, но не достаточным, то для интегрируемости функции непрерывность функции на данном отрезке является только условием достаточным, но необходимым.

2) В то время как операция дифференцирования однозначна, операция интегрирования многозначна, ибо если функция имеет первообразную на отрезке, то она имеет и бесчисленное множество первообразных на этом отрезке.

Однако задача отыскания совокупности всех первообразных сводится к задаче отыскания только одной первообразной, так как все первообразные данной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.