Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:

M(С) = С. (2.7)

Действительно, постоянную С можно рассматривать как дискретную случайную величину, принимающую единственное значение С с вероятностью 1, поэтому М(С) = 1×С = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(С×x) = С×М(x). (2.8)

Поскольку при умножении на С возможные значения случайной величины также умножаются на С, при сохранении соответствующих вероятностей, то (2.8) следует из известных свойств суммы и интеграла.

Следующие два свойства приведём без обоснования.

3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

Свойства математического ожидания - №1 - открытая онлайн библиотека . (2.9)

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых в совокупности случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

Свойства математического ожидания - №2 - открытая онлайн библиотека . (2.10)

Пример. Фермер считает, что, принимая во внимание различные потери и колебания цен, он сможет выручить не более 60 центов за десяток яиц и потерять не более 20 центов за десяток и что вероятности возможных выигрышей и потерь таковы:

Свойства математического ожидания - №3 - открытая онлайн библиотека

Как оценить ожидаемую прибыль: от продажи десятка яиц; от ожидаемых им в этом году 100000 яиц?

Решение. X – случайная величина, прибыль от продажи 10 яиц.

MX = 0,6 × 0,2 + 0,4 × 0,5 + 0,2 × 0,2 + 0 × 0,06 – 0,2 × 0,04 = 0,352,

M10000X = 10000 × 0,352 = 3520$.

Итак, математическое ожидание является тем “средним” значением, вокруг которого распределены все возможные значения случайной величины. Однако знания среднего значения случайной величины для большинства задач недостаточно, необходимо иметь ещё количественную характеристику разброса возможных значений случайной величины относительно математического ожидания. Для этого рассмотрим разность - отклонение возможного значения случайной величины от её математического ожидания (x - a).

Случайные величины при одинаковом среднем могут быть совершенно разными, например, одна может меняться в узких пределах, а вторая – в широких. Приведем в качестве примера графики некоторых распределений, имеющих одинаковое среднее, равное нулю, и разные разбросы (рис. 2.3).

Свойства математического ожидания - №4 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.3

На всех графиках нас интересует разброс вокруг среднего (в нашем примере оно равно нулю; если это не так, картинка только сдвинется).

Чтобы охарактеризовать разброс, рассеяние случайной величины есть несколько показателей, но чаще всего применяют дисперсию D(x) или среднеквадратическое (стандартное) отклонение Свойства математического ожидания - №5 - открытая онлайн библиотека .

Назовём дисперсией случайной величины x математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания a=Mx:

Свойства математического ожидания - №6 - открытая онлайн библиотека , (2.11)

Свойства математического ожидания - №7 - открытая онлайн библиотека Свойства математического ожидания - №8 - открытая онлайн библиотека .

Для вычисления дисперсии часто оказывается полезной формула

Свойства математического ожидания - №9 - открытая онлайн библиотека ,

Свойства математического ожидания - №10 - открытая онлайн библиотека .

Действительно,

Свойства математического ожидания - №11 - открытая онлайн библиотека Свойства математического ожидания - №12 - открытая онлайн библиотека Свойства математического ожидания - №13 - открытая онлайн библиотека .

Пример. Сосчитаем дисперсии распределений, приведенных на графиках (см рис. 2.3):

1) 1 × 1/8 + 1 × 1/8 – 0 = 1/4 = 0,25;

2) 1 × 1/3 + 1 × 1/3 – 0= 2/3 = 0.(6);

3) 1 × 1/2 + 1 × 1/2 – 0 = 1;

4) 4 × 1/2 + 4 × 1/2 – 0 = 4;

5) 4 × 1/4 + 1×1/4 + 1 × 1/4 + 4 × 1/4 – 0 = 2,5.

Самая большая дисперсия у четвертого распределения, когда все значения удалены от среднего на расстояние 2. Самая маленькая – у первого, когда математическое ожидание является наиболее вероятным значением.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия неотрицательна – Свойства математического ожидания - №14 - открытая онлайн библиотека .

2. Дисперсия постоянной равна нулю:

D(C) = 0. (2.12)

Действительно, D(C) = M(C2) - (M(C))2= C2- C2=0.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(C×x ) = C2×D(x ). (2.13)

Действительно,

Свойства математического ожидания - №15 - открытая онлайн библиотека .

4. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых в совокупности случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых:

Свойства математического ожидания - №16 - открытая онлайн библиотека . (2.14)

Доказательство проведём для двух слагаемых.

Свойства математического ожидания - №17 - открытая онлайн библиотека Свойства математического ожидания - №18 - открытая онлайн библиотека .

Поскольку размерность дисперсии случайной величины равна квадрату размерности самой случайной величины, то в ряде случаев удобнее пользоваться корнем из дисперсии. Эта характеристика имеет ту же размерность, что и сама случайная величина, и её называют среднеквадратическим отклонением

Свойства математического ожидания - №19 - открытая онлайн библиотека . (2.15)

Отметим, что для четвертого распределения, где все значения находились на расстоянии 2 от среднего, s = 2.

Из свойств дисперсии немедленно следуют свойства среднеквадратического отклонения: Свойства математического ожидания - №20 - открытая онлайн библиотека .