Свойства ковариации

1. Свойства ковариации - №1 - открытая онлайн библиотека Свойства ковариации - №2 - открытая онлайн библиотека Свойства ковариации - №3 - открытая онлайн библиотека

2. Свойства ковариации - №4 - открытая онлайн библиотека

По свойству 1 Свойства ковариации - №5 - открытая онлайн библиотека

3.Если X, Y независимы, то Свойства ковариации - №6 - открытая онлайн библиотека , (обратное неверно).

Если случайные величины независимы, то Свойства ковариации - №7 - открытая онлайн библиотека , тогда по свойству 1 Свойства ковариации - №6 - открытая онлайн библиотека .

Случайные величины называются некоррелированными, если Свойства ковариации - №6 - открытая онлайн библиотека , из некоррелированности не следует независимость, из независимости следует некоррелированность.

Коэффициентом корреляциислучайных величин X и Y.называется Свойства ковариации - №10 - открытая онлайн библиотека .

Можно показать, что Свойства ковариации - №11 - открытая онлайн библиотека , поэтому Свойства ковариации - №12 - открытая онлайн библиотека . Если Свойства ковариации - №13 - открытая онлайн библиотека , то говорят, что между X и Y существует положительная корреляция; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины, другая имеет тенденцию к возрастанию. Если Свойства ковариации - №14 - открытая онлайн библиотека , то говорят, что между X и Y существует отрицательная корреляция; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины другая имеет тенденцию к убыванию. Если Свойства ковариации - №15 - открытая онлайн библиотека , это означает, что случайные величины X и Y некоррелированны.

Если между случайными величинами X и Y существует линейная зависимость, то Свойства ковариации - №16 - открытая онлайн библиотека . Действительно, пусть Свойства ковариации - №17 - открытая онлайн библиотека . В этом случае

Свойства ковариации - №18 - открытая онлайн библиотека ;

Свойства ковариации - №19 - открытая онлайн библиотека .

Тогда

Свойства ковариации - №20 - открытая онлайн библиотека .

Информацию о связи между компонентами X и Y системы (X,Y) несет корреляционная матрица , которая имеет вид

Свойства ковариации - №21 - открытая онлайн библиотека .

Матрица К является симметричной вследствие равенства Свойства ковариации - №22 - открытая онлайн библиотека .

Кроме корреляционного момента и коэффициента корреляции , взаимная связь двух случайных величин может быть описана с помощью линий регрессии.

Действительно, при каждом значении Х = х величина Y остается случайной величиной, допускающей рассеяние своих значений, однако зависимость Y от Х сказывается также в изменении средних значений Y при переходе от одного значения X к другому. Эту зависимость и описывает кривая регрессии

Свойства ковариации - №23 - открытая онлайн библиотека .

Аналогично, зависимость X от Y, которая сказывается в изменении средних значений X при переходе от одного значения Y = y к другому, описывается кривой регрессии

Свойства ковариации - №24 - открытая онлайн библиотека .

Наиболее простым случаем будет тот, когда обе функции линейны, так что обе линии регрессии будут прямыми линиями; они называются прямыми регрессии. В этом случае будем говорить о линейной корреляции между случайными величинами X и Y.

Выведем уравнения прямых регрессии. Пусть MX = mx, MY = my, Dx = Свойства ковариации - №25 - открытая онлайн библиотека , Dy = Свойства ковариации - №26 - открытая онлайн библиотека , Kxy – корреляционный момент случайных величин X и Y. Будем искать уравнение прямой регрессии Y на X в виде Свойства ковариации - №27 - открытая онлайн библиотека , где параметры A и B подлежат определению.

Взяв математическое ожидание от обеих частей последнего равенства и учитывая, что Свойства ковариации - №28 - открытая онлайн библиотека , имеем, что Свойства ковариации - №29 - открытая онлайн библиотека . Далее

Свойства ковариации - №30 - открытая онлайн библиотека , откуда Свойства ковариации - №31 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, в случае линейной корреляции уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид

Свойства ковариации - №32 - открытая онлайн библиотека .

Аналогично уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид

Свойства ковариации - №33 - открытая онлайн библиотека .

Если учесть, что Свойства ковариации - №34 - открытая онлайн библиотека , то уравнения прямых регрессии могут быть переписаны в симметричной форме:

Свойства ковариации - №35 - открытая онлайн библиотека ;

Свойства ковариации - №36 - открытая онлайн библиотека .

Из уравнений прямых регрессии (3.3.13) и (3.3.14) видно, что обе прямые проходят через точку (mx,my). Угловые коэффициенты прямых регрессии равны соответственно:

Свойства ковариации - №37 - открытая онлайн библиотека , Свойства ковариации - №38 - открытая онлайн библиотека .

Так как Свойства ковариации - №39 - открытая онлайн библиотека , прямая регрессии Y на X имеет меньший угол наклона к оси Ох, чем прямая регрессии X на Y. Чем ближе Свойства ковариации - №40 - открытая онлайн библиотека к 1, тем меньше угол между этими прямыми; при Свойства ковариации - №40 - открытая онлайн библиотека = 1 прямые регрессии сливаются. При Свойства ковариации - №42 - открытая онлайн библиотека прямые регрессии имеют уравнения Свойства ковариации - №43 - открытая онлайн библиотека и Свойства ковариации - №44 - открытая онлайн библиотека , так что обе они параллельны соответствующим осям координат. В этом случае величины X и Y являются некоррелируемыми; для них Свойства ковариации - №45 - открытая онлайн библиотека , Свойства ковариации - №46 - открытая онлайн библиотека , т. е. условные математические ожидания совпадают с безусловными.