Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши

Мы предполагаем, что читатель знаком с понятием линейного пространства и с основными его свойствами. В дальнейшем будут использоваться следующие пространства:

1) Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №1 - открытая онлайн библиотека – пространство функций, непрерывных на отрезке Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №2 - открытая онлайн библиотека

2) Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №3 - открытая онлайн библиотека – пространство функций Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №4 - открытая онлайн библиотека непрерывных вместе со своими производными Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №5 - открытая онлайн библиотека (до Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №6 - открытая онлайн библиотека –го порядка включительно), Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №7 - открытая онлайн библиотека

Эти пространства являются линейными пространствами с обычными для функций операциями сложения и умножения на числа.

Теорема 1. Если в операторе Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №8 - открытая онлайн библиотека все коэффициенты Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №9 - открытая онлайн библиотека непрерывны на отрезке Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №10 - открытая онлайн библиотека , то Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №11 - открытая онлайн библиотека действует из пространства Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №12 - открытая онлайн библиотека в пространство Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №13 - открытая онлайн библиотека (т.е. Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №14 - открытая онлайн библиотека ) и является линейным оператором, т.е.

Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №15 - открытая онлайн библиотека

для произвольных постоянных Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №16 - открытая онлайн библиотека и Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №17 - открытая онлайн библиотека и произвольных функций Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №18 - открытая онлайн библиотека Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №19 - открытая онлайн библиотека

Действительно, при дифференцировании теряется гладкость функции на единицу, значит при Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №20 - открытая онлайн библиотека –кратном дифференцировании функция класса Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №21 - открытая онлайн библиотека переходит в функцию класса Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №22 - открытая онлайн библиотека Кроме того, поскольку операция дифференцирования линейна, то и линеен оператор Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №23 - открытая онлайн библиотека Будем рассматривать в основном уравнения (1) со старшим коэффициентом Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №24 - открытая онлайн библиотека B этом случае на него можно поделить уравнение (1) и записать его в форме

Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №25 - открытая онлайн библиотека

где обозначено:

Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №26 - открытая онлайн библиотека Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №27 - открытая онлайн библиотека

Наша ближайшая задача – изучить свойства решений этого уравнения. Начнем с теоремы существования и единственности решения задачи Коши

Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №28 - открытая онлайн библиотека Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №29 - открытая онлайн библиотека

где Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №30 - открытая онлайн библиотека произвольный вектор.

Теорема 2 (Коши) . Если в уравнении (2) все коэффициенты Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №31 - открытая онлайн библиотека и правая часть Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №32 - открытая онлайн библиотека непрерывны на отрезке Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №33 - открытая онлайн библиотека , то задача Коши (2) для этого уравнения имеет единственное решение Свойства дифференциального оператора. Теорема Коши - №34 - открытая онлайн библиотека и это решение определено также на этом отрезке.

Таким образом, теорема существования и единственности решения начальной задачи для линейного дифференциального уравнения носит "глобальный" характер в отличие от "локального" характера общей теоремы существования единственности решения для нелинейного уравнения.