Свойства дифференциала функции

Задача нахождения дифференциала функции сводится к нахождению производной функции , так как Свойства дифференциала функции - №1 - открытая онлайн библиотека , поэтому все свойства производной распространяются и на дифференциал:

1). d(u Свойства дифференциала функции - №2 - открытая онлайн библиотека

2). d(u Свойства дифференциала функции - №3 - открытая онлайн библиотека

3). d( Свойства дифференциала функции - №4 - открытая онлайн библиотека .

Пример 1.Найти дифференциал функции y = Свойства дифференциала функции - №5 - открытая онлайн библиотека .

Решение.dy = Свойства дифференциала функции - №6 - открытая онлайн библиотека

Пример 2. Найти дифференциал функции y, если sin(x+y) = Свойства дифференциала функции - №7 - открытая онлайн библиотека .

Решение.Функция y задана неявно , найдём сначала y’ . Дифференцируем обе части равенства cos(x+y)(1+y’) = Свойства дифференциала функции - №8 - открытая онлайн библиотека отсюда выражаем y’ .

Y’ = Свойства дифференциала функции - №9 - открытая онлайн библиотека = Свойства дифференциала функции - №10 - открытая онлайн библиотека , dy = Свойства дифференциала функции - №10 - открытая онлайн библиотека dx.

Инвариантность формы дифференциала функции

Если y = f(u) , где u = Свойства дифференциала функции - №12 - открытая онлайн библиотека , y = f[ Свойства дифференциала функции - №13 - открытая онлайн библиотека , то Свойства дифференциала функции - №14 - открытая онлайн библиотека = f’u (u) Свойства дифференциала функции - №15 - открытая онлайн библиотека → dy = f’u Свойства дифференциала функции - №16 - открытая онлайн библиотека Свойства дифференциала функции - №17 - открытая онлайн библиотека .

du

Вывод.Форма дифференциала не зависит от того , является аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента.

Пример.Найти дифференциал функции y = sin Свойства дифференциала функции - №18 - открытая онлайн библиотека .

Решение.y = sinu , u = Свойства дифференциала функции - №18 - открытая онлайн библиотека , dy = cosu Свойства дифференциала функции - №20 - открытая онлайн библиотека .

Геометрическое значение дифференциала функции

y

M1

T Свойства дифференциала функции - №21 - открытая онлайн библиотека

Свойства дифференциала функции - №22 - открытая онлайн библиотека

M N

Свойства дифференциала функции - №22 - открытая онлайн библиотека x

0 x x+ Свойства дифференциала функции - №24 - открытая онлайн библиотека

М(x,y) ; M 1(x+ Свойства дифференциала функции - №25 - открытая онлайн библиотека ; NT = MN Свойства дифференциала функции - №26 - открытая онлайн библиотека tg Свойства дифференциала функции - №27 - открытая онлайн библиотека

NT = f’(x) Свойства дифференциала функции - №28 - открытая онлайн библиотекаСвойства дифференциала функции - №29 - открытая онлайн библиотека

Вывод. Дифференциал функции f(x) , соответствующий значениям x и Свойства дифференциала функции - №24 - открытая онлайн библиотека равен приращению ординаты касательной к кривой y = f(x) в данной точке x.

Замечание. В данном случае Свойства дифференциала функции - №31 - открытая онлайн библиотека но возможно и Свойства дифференциала функции - №32 - открытая онлайн библиотека .

y N

M2 Т Свойства дифференциала функции - №21 - открытая онлайн библиотека

М1

0 x NT = dy Свойства дифференциала функции - №34 - открытая онлайн библиотека