Свойства дисперсии

1) Свойства дисперсии - №1 - открытая онлайн библиотека (под интегралом стоит квадрат функции).

2) Свойства дисперсии - №2 - открытая онлайн библиотека ( Свойства дисперсии - №3 - открытая онлайн библиотека .

3) Свойства дисперсии - №4 - открытая онлайн библиотека (выведите сами, вынося Свойства дисперсии - №5 - открытая онлайн библиотека из под суммы или из под интеграла).

Средним квадратическим отклонением называется Свойства дисперсии - №6 - открытая онлайн библиотека .

Кроме этих основных числовых характеристик используются коэффициент асимметрии Свойства дисперсии - №7 - открытая онлайн библиотека , эксцесс – мера островершинности распределения Свойства дисперсии - №8 - открытая онлайн библиотека , среднее арифметическое отклонение Свойства дисперсии - №9 - открытая онлайн библиотека , мода – наиболее вероятное значение для дискретных величин или значение, где плотность максимальна для непрерывных величин, медиана Me – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой плотности распределения, делится пополам (точка, в которой F(x) = ½).

Пример.Стрелок делает один выстрел и с вероятностью p попадает в мишень. Пусть X – количество попаданий в мишень. Это – дискретная случайная величина, принимающая два значения х1 = 0 и х2 = 1 с вероятностями q = 1-p, p соответственно. Построим ряд распределения Х

xi
pi q p

Функция распределения равна Свойства дисперсии - №10 - открытая онлайн библиотека ,

Математическое ожидание равно M(X) = mx = 0 q + 1 p = p.

Если составить ряд распределения для случайной величины X2, то мы получим ту же таблицу (так как 02 = 0 и 12 =1). Поэтому M(X2) = p, а дисперсию можно вычислить по формуле D(X) = M(X2) – (mx)2 = p – p2 = p(1-p) = pq.

Распределение называется равномерным на отрезке [a,b],еслиплотность случайной величины X постоянна на отрезке [a,b] p(x) = p и равна нулю вне этого отрезка.

Из условия нормировки для плотности вероятности следует

Свойства дисперсии - №11 - открытая онлайн библиотека . Отсюда следует, что Свойства дисперсии - №12 - открытая онлайн библиотека - плотность равномерного распределения. Функция распределения величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b], равна

Свойства дисперсии - №13 - открытая онлайн библиотека . Вычислим математическое ожидание и дисперсию величины, распределенной равномерно на отрезке [a,b].

Свойства дисперсии - №14 - открытая онлайн библиотека ,

Свойства дисперсии - №15 - открытая онлайн библиотека = Свойства дисперсии - №16 - открытая онлайн библиотека

= Свойства дисперсии - №17 - открытая онлайн библиотека