Свойства бесконечно малой последовательности

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

anbn®бесконечно малое Þ an+bn – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

an- бесконечно малое Û "ε>0 $ N1:"n>N1 Þ |an|<ε

bn- бесконечно малое Û "ε>0 $ N2:"n>N2 Þ |bn|<ε

Положим N=max{N1,N2}, тогда для любого n>N Þ одновременно выполняется оба неравенства:

Свойства бесконечно малой последовательности - №1 - открытая онлайн библиотека

|an|<ε |an+bn|£|an|+|bn|<ε+ε=2ε=ε1"n>N

|bn|<ε

Зададим "ε1>0, положим ε=ε1/2. Тогда для любого ε1>0 $N=maxN1N2 : " n>N Þ |an+bn|<ε1 Û lim(an+bn)=0, то

n®¥

есть an+bn – бесконечно малое.

Теорема Произведение бесконечно малого есть бесконечно малое.

an,bn – бесконечно малое Þ anbn – бесконечно малое.

Докозательство:

Зададим "ε1>0, положим ε=Öε1, так как an и bn – бесконечно малое для этого ε>0, то найдётся N1: " n>N Þ |an|<ε

Свойства бесконечно малой последовательности - №2 - открытая онлайн библиотека $N2: " n>N2 Þ |bn|<ε

Возьмем N=max {N1;N2}, тогда "n>N = |an|<ε

|bn|<ε

|anbn|=|an||bn|<ε21

" ε1>0 $N:"n>N |anbn|<ε21

lim anbn=0 Û anbn – бесконечно малое, что и требовалось доказать.

n®¥

Теорема Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность

аn – ограниченная последовательность

an –бесконечно малая последовательность Þ anan – бесконечно малая последовательность.

Доказательство: Так как аn – ограниченная Û $С>0: "nÎN Þ |an|£C

Зададим "ε1>0; положим ε=ε1/C; так как an – бесконечно малая, то ε>0 $N:"n>NÞ |an|<εÞ |anan|=|an||an|<Cε=C·ε1/C=ε1

1>0 $N: "n>N Þ |anan|=Cε=ε1 Þ lim anan=0Û anan – бесконечно малое

n®¥

Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const Þ произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

lim an=a Û an=a+an

n®+¥

Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+an

где an – бесконечно малая.

Доказательство:

lim an Û " ε>0 $N:"n>N Þ |an-a|<ε. Положим an-a=an Þ |an|<ε, "n>N, то есть an - бесконечно малая

n®+¥

an=a+an что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть an=a+an, an – бесконечно малая, то есть an=an-a Û "ε>0 $N: "n>N Þ

Þ|an|=|an-a|<ε, то есть lim an

n®+¥