Свободной и несвободной МТ

Используя основной закон динамики и формулы для ускорения МТ при различных способах задания движения, можно получить дифференциальные уравнения движения как свободной, так и несвободной МТ с той лишь разницей, что для несвободной МТ ко всем приложенным к МТ активным (заданным) силам надо добавить на основании аксиомы связей – принципа освобождаемости (Ч. 2 Статика) силы пассивные (реакции связи), а в некоторых случаях и уравнения наложенных на МТ связей.

Так как система сил, приложенных к МТ, является сходящейся, то она всегда может быть приведена к равнодействующей.

Пусть Свободной и несвободной МТ - №1 - открытая онлайн библиотека – равнодействующая системы сходящихся сил, действующих на МТ.

Для свободной МТ равнодействующая равна геометрической сумме сходящихся активных сил, действующих на нее:

Свободной и несвободной МТ - №2 - открытая онлайн библиотека ,

где Свободной и несвободной МТ - №3 - открытая онлайн библиотека – n-я активная (заданная) сила, действующая на МТ, n – количество активных сил.

Для несвободной МТ равнодействующая равна геометрической сумме сходящихся активных (заданных) сил и пассивных сил (сил реакций связей):

Свободной и несвободной МТ - №4 - открытая онлайн библиотека ,

где Свободной и несвободной МТ - №5 - открытая онлайн библиотека – g-я пассивная сила (сила реакции связи), действующая на МТ, h - количество пассивных сил.

На основании второго закона динамики (1.2) с учетом соотношения (1.3) (Ч. 1 Кинематика), определяющим формулу для ускорения МТ при векторном способе задания движения:

Свободной и несвободной МТ - №6 - открытая онлайн библиотека ,

получим дифференциальное уравнение движения МТ постоянной массы в векторной форме (рис. 1):

Свободной и несвободной МТ - №7 - открытая онлайн библиотека . (1.6)

Спроектировав соотношение (1.6) на оси декартовой системы координат Oxyz и использовав соотношения (1.12) (Ч. 1 Кинематика), определяющее проекцию ускорения МТ на оси декартовой системы координат:

Свободной и несвободной МТ - №8 - открытая онлайн библиотека , Свободной и несвободной МТ - №9 - открытая онлайн библиотека , Свободной и несвободной МТ - №10 - открытая онлайн библиотека ,

получим дифференциальные уравнения движения МТ в проекциях на эти оси (рис. 1):

Свободной и несвободной МТ - №11 - открытая онлайн библиотека (1.7)

Свободной и несвободной МТ - №12 - открытая онлайн библиотека

Рис.1

Спроектировав соотношение (1.2) на оси естественного трехгранника ( Свободной и несвободной МТ - №13 - открытая онлайн библиотека ) и использовав соотношения (1.26) и (1.28) (Ч. 1 Кинематика), определяющие формулы для ускорения МТ

при естественном способе задания движения:

Свободной и несвободной МТ - №14 - открытая онлайн библиотека , Свободной и несвободной МТ - №15 - открытая онлайн библиотека , Свободной и несвободной МТ - №16 - открытая онлайн библиотека ,

получим дифференциальные уравнения движения МТ в проекциях на оси естественного трехгранника (рис. 1):

Свободной и несвободной МТ - №17 - открытая онлайн библиотека (1.8)

Рассмотрены наиболее используемые случаи уравнений движения МТ. Аналогично можно получить дифференциальные уравнения движения МТ в других системах координат (полярной, цилиндрической, сферической и т. д.).