С источниками напряжений

Идея метода контурных токов основана на доказательстве о том, что вдоль каждого контура протекает независимый ток, называемый контурным.

Токи в ветвях определяются совместным действием контурных токов протекаемых по этим ветвям.

В качестве примера рассмотрим электрическую цепь, приведенную на рисунке 2.17.

С источниками напряжений - №1 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.17 – Электрическая цепь

Граф данной схемы, с выделенными ветвями связи и дерева, приведен на рисунке 2.18. В схеме три независимых контура, вдоль которых протекают контурные токи С источниками напряжений - №2 - открытая онлайн библиотека С источниками напряжений - №3 - открытая онлайн библиотека С источниками напряжений - №4 - открытая онлайн библиотека .

В ветвях связи протекает только один контурный ток, соответственно равный С источниками напряжений - №5 - открытая онлайн библиотека С источниками напряжений - №6 - открытая онлайн библиотека С источниками напряжений - №7 - открытая онлайн библиотека .

В ветвях дерева – несколько токов, соответственно равных:

С источниками напряжений - №8 - открытая онлайн библиотека , С источниками напряжений - №9 - открытая онлайн библиотека С источниками напряжений - №10 - открытая онлайн библиотека

Из вышеуказанного следует, что достаточно рассчитать контурные токи, по которым легко определяются токи в ветвях.

С источниками напряжений - №11 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.18 – Граф исходной электрической цепи

Систему уравнений для определения контурных токов можно получить из уравнений Кирхгофа, которые для вышеуказанной схемы (рис. 2.17), имеют вид:

По первому закону Кирхгофа

С источниками напряжений - №12 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №13 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №14 - открытая онлайн библиотека .

По второму закону Кирхгофа:

С источниками напряжений - №15 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №16 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №17 - открытая онлайн библиотека .

Из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, выразим токи в ветвях дерева через токи ветвей связи. Принимая во внимание, что токи в ветвях связи равны контурным токам, имеем:

С источниками напряжений - №18 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №19 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №20 - открытая онлайн библиотека .

Полученные выражения подставим в уравнения второго закона Кирхгофа. В результате имеем:

С источниками напряжений - №21 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №22 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №23 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, получили систему трех уравнений с тремя неизвестными токами. Проанализируем свойства полученной системы уравнений. При составлении уравнения для I контура, контурный ток С источниками напряжений - №24 - открытая онлайн библиотека умножаем на сумму сопротивлений ветвей первого контура С источниками напряжений - №25 - открытая онлайн библиотека . Влияние второго контурного тока на первый, осуществляется введением выражения С источниками напряжений - №26 - открытая онлайн библиотека . Здесь С источниками напряжений - №27 - открытая онлайн библиотека - сопротивление ветви, принадлежащей одновременно и I и II контурам. Знак ”+” перед выражением С источниками напряжений - №26 - открытая онлайн библиотека указывает на то, что контурные токи С источниками напряжений - №29 - открытая онлайн библиотека и С источниками напряжений - №30 - открытая онлайн библиотека во второй ветви, направлены в одну сторону. Влияние третьего контурного тока на первый, осуществляется введением выражения С источниками напряжений - №31 - открытая онлайн библиотека . Здесь С источниками напряжений - №32 - открытая онлайн библиотека - сопротивление ветви, принадлежащей одновременно и I и III контурам. Знак ”+” перед выражением С источниками напряжений - №31 - открытая онлайн библиотека указывает на то, что контурные токи С источниками напряжений - №29 - открытая онлайн библиотека и С источниками напряжений - №35 - открытая онлайн библиотека в четвертой ветви сонаправлены.

Аналогичными свойствами обладают уравнения, составленные для II и III контура.

Используя вышеуказанные свойства, составим уравнения для определения контурных токов произвольной схемы.

Допустим, имеется цепь, включающая n независимых контуров.

Имеем n независимых токов, и n – уравнений с n – неизвестными. Система уравнений для определения токов имеет вид:

С источниками напряжений - №36 - открытая онлайн библиотека ,

где С источниками напряжений - №37 - открытая онлайн библиотека – соответственно сумма сопротивлений ветвей I, II … n – ного контура;

С источниками напряжений - №38 - открытая онлайн библиотека – сумма сопротивлений, принадлежащих I и II контурам - ветви дерева;

С источниками напряжений - №39 - открытая онлайн библиотека - контурная ЭДС первого контура, равная алгебраической сумме ЭДС ветвей первого контура.

Правило знаков: элементы, содержащие С источниками напряжений - №37 - открытая онлайн библиотека , всегда принимаются со знаком ”+”. Знаки на разноименных элементах С источниками напряжений - №41 - открытая онлайн библиотека , С источниками напряжений - №42 - открытая онлайн библиотека , С источниками напряжений - №43 - открытая онлайн библиотека и т.д., определяются совместным направлением контурных токов в указанных ветвях. При совпадении контурных токов ставят знак ”+”, при встречном – знак ”-”. Знаки ЭДС пишутся также как и по второму закону Кирхгофа.

Пример 2.6.Рассмотрим рекомендованный порядок расчета на примере электрической цепи, приведенной на рисунке 2.19, параметры которой E4 = 60 (B), Е5 = 20 В, Е6 = 40 В, r1 = 6 Ом, r2 = 10 Ом, r3 = 9 Ом, r4 = 8 Ом, r5 = 10 Ом, r6 = 7 Ом.

С источниками напряжений - №44 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.19 – Электрическая цепь постоянного тока

1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

1.1. Количество ветвей – С источниками напряжений - №45 - открытая онлайн библиотека , количество узлов – С источниками напряжений - №46 - открытая онлайн библиотека .

1.2. Вычерчиваем граф схемы. Для данной схемы граф имеет вид, представленный на рисунке 2.20.

Ветвями дерева приняты ветви 4,5,6, ветвями связи – ветви 1,2,3.

С источниками напряжений - №47 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.20 – Граф исходной электрической цепи

1.3. Используя граф схемы, формируем независимые (главные) контуры. При формировании первого независимого контура используем 1-ю ветвь связи, дополненную 4 и 5 ветвями дерева. Соответственно, второй главный контур состоит из ветви связи 2, дополненной 4 и 6 ветвями дерева; третий главный контур состоит из ветви связи 3, дополненной 5 и 6 ветвями дерева. Положительное направление обхода контура рекомендуется принимать совпадающим с направлением тока в ветви связи.

2. Составляем уравнения для определения контурных токов:

С источниками напряжений - №48 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №49 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №50 - открытая онлайн библиотека .

3. Подставляем числовые значения и решаем систему уравнений:

3.1. Контурные сопротивления

С источниками напряжений - №51 - открытая онлайн библиотека Ом;

С источниками напряжений - №52 - открытая онлайн библиотека Ом;

С источниками напряжений - №53 - открытая онлайн библиотека Ом.

Сумма сопротивлений, принадлежащих нескольким контурам

С источниками напряжений - №54 - открытая онлайн библиотека Ом;

С источниками напряжений - №55 - открытая онлайн библиотека Ом;

С источниками напряжений - №56 - открытая онлайн библиотека Ом.

Контурные ЭДС С источниками напряжений - №57 - открытая онлайн библиотека В;

С источниками напряжений - №58 - открытая онлайн библиотека В;

С источниками напряжений - №59 - открытая онлайн библиотека В.

3.2. После подстановки цифровых данных система имеет вид

С источниками напряжений - №60 - открытая онлайн библиотека

3.3. Решая данную систему уравнений, определяем контурные токи:

С источниками напряжений - №61 - открытая онлайн библиотека А,

С источниками напряжений - №62 - открытая онлайн библиотека А,

С источниками напряжений - №63 - открытая онлайн библиотека А.

3.4. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 2.19.

С источниками напряжений - №64 - открытая онлайн библиотека А;

С источниками напряжений - №65 - открытая онлайн библиотека А;

С источниками напряжений - №66 - открытая онлайн библиотека А;

С источниками напряжений - №67 - открытая онлайн библиотека А;

С источниками напряжений - №68 - открытая онлайн библиотека А;

С источниками напряжений - №69 - открытая онлайн библиотека А.

4. Проверяем решение системы уравнений, составив баланс мощностей.

4.1. Мощность источников:

С источниками напряжений - №70 - открытая онлайн библиотека Вт,

С источниками напряжений - №71 - открытая онлайн библиотека Вт,

С источниками напряжений - №72 - открытая онлайн библиотека Вт.

Суммарная мощность источников:

С источниками напряжений - №73 - открытая онлайн библиотека Вт.

4.2.Мощность приемников:

С источниками напряжений - №74 - открытая онлайн библиотека Вт,

С источниками напряжений - №75 - открытая онлайн библиотека Вт,

С источниками напряжений - №76 - открытая онлайн библиотека Вт,

С источниками напряжений - №77 - открытая онлайн библиотека Вт,

С источниками напряжений - №78 - открытая онлайн библиотека Вт,

С источниками напряжений - №79 - открытая онлайн библиотека Вт,

Суммарная мощность приемников:

С источниками напряжений - №80 - открытая онлайн библиотека

С источниками напряжений - №81 - открытая онлайн библиотека Вт.

4.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислений С источниками напряжений - №82 - открытая онлайн библиотека и не превышает 0,5%.

Пример 2.7.Рассмотрим решение задачи, приведенной в примере 2.2, методом контурных токов. Электрическая цепь для рассматриваемого метода, приведена на рисунке 2.21.

С источниками напряжений - №83 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 2.21 – Электрическая цепь постоянного тока

1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

Количество ветвей – С источниками напряжений - №84 - открытая онлайн библиотека , количество узлов – С источниками напряжений - №85 - открытая онлайн библиотека .

2. Составляем уравнения для определения контурных токов:

С источниками напряжений - №86 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №87 - открытая онлайн библиотека ;

С источниками напряжений - №88 - открытая онлайн библиотека .

3. Подставляем числовые значения и решаем систему уравнений:

3.1. Контурные сопротивления

С источниками напряжений - №89 - открытая онлайн библиотека Ом;

С источниками напряжений - №90 - открытая онлайн библиотека Ом;

С источниками напряжений - №91 - открытая онлайн библиотека Ом.

Сумма сопротивлений, принадлежащих нескольким контурам

С источниками напряжений - №92 - открытая онлайн библиотека Ом;

С источниками напряжений - №93 - открытая онлайн библиотека Ом.

Контурные ЭДС С источниками напряжений - №94 - открытая онлайн библиотека В;

С источниками напряжений - №95 - открытая онлайн библиотека В;

С источниками напряжений - №96 - открытая онлайн библиотека В.

3.2. После подстановки цифровых данных система имеет вид

С источниками напряжений - №97 - открытая онлайн библиотека

3.3. Решая данную систему уравнений, определяем контурные токи:

С источниками напряжений - №98 - открытая онлайн библиотека мА,

С источниками напряжений - №99 - открытая онлайн библиотека мА,

С источниками напряжений - №100 - открытая онлайн библиотека мА.

3.4. Определяем токи в ветвях электрической цепи, приведенной на рисунке 2.21.

С источниками напряжений - №101 - открытая онлайн библиотека мА;

С источниками напряжений - №102 - открытая онлайн библиотека мА;

С источниками напряжений - №103 - открытая онлайн библиотека мА;

С источниками напряжений - №104 - открытая онлайн библиотека мА;

С источниками напряжений - №105 - открытая онлайн библиотека мА.

Токи в ветвях, рассчитанные в примерах 2.2 и 2.7, совпадают.