Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса

1. Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №1 - открытая онлайн библиотека .

2. Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №2 - открытая онлайн библиотека .

3. Найти общее решение системы линейных алгебраических уравнений и записать одно частное решение этой системы

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №3 - открытая онлайн библиотека .

Тема 3. Функция. Последовательность

Содержание программы

3.1. Понятие функции, ее свойства, график. Сложная функция. Обратная функция.

3.2. Элементарные функции. Графики основных элементарных функций. Преобразования графиков.

3.3. Графический метод решения уравнений и систем двух уравнений с двумя неизвестными.

3.4. числовая последовательность. Виды последовательностей.

Содержание темы

Пусть X и Y некоторые числовые множества Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №4 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №5 - открытая онлайн библиотека

Если каждому Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №6 - открытая онлайн библиотека по некоторому правилу f ставится в соответствие единственный элемент Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №7 - открытая онлайн библиотека то говорят, что задана функция. Обозначается Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №8 - открытая онлайн библиотека где х – аргумент или независимая переменная функции; у – значение функции или зависимая переменная.

Множество Х значений независимой переменной называется областью определения функции и обозначается Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №9 - открытая онлайн библиотека или Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №10 - открытая онлайн библиотека

Множество всех значений зависимой переменной Y называется множеством значений функции и обозначается Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №11 - открытая онлайн библиотека или Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №12 - открытая онлайн библиотека

Частное значение функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №13 - открытая онлайн библиотека при заданном частном значении аргумента Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №14 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №15 - открытая онлайн библиотека обозначается Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №16 - открытая онлайн библиотека

Графиком функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №17 - открытая онлайн библиотека называется множество всех точек плоскости с координатами Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №18 - открытая онлайн библиотека где Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №19 - открытая онлайн библиотека

Свойства функции:

1. Четность и нечетность функции.

Функция Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №20 - открытая онлайн библиотека называется четной, если:

1) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №21 - открытая онлайн библиотека – симметричное множество относительно Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №22 - открытая онлайн библиотека

2) для любого Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №23 - открытая онлайн библиотека выполняется равенство Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №24 - открытая онлайн библиотека

Функция Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №25 - открытая онлайн библиотека называется нечетной, если:

1) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №26 - открытая онлайн библиотека – симметричное множество относительно Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №27 - открытая онлайн библиотека

2) для любого Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №28 - открытая онлайн библиотека выполняется равенство Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №29 - открытая онлайн библиотека

Если функция Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №30 - открытая онлайн библиотека является четной или нечетной, то говорят, что она обладает свойством четности.

График четной функции симметричен относительно оси Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №31 - открытая онлайн библиотека график нечетной – относительно начала координат.

2. Периодичность функции.

Функция Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №32 - открытая онлайн библиотека с областью определения Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №33 - открытая онлайн библиотека называется периодической, если существует такое число Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №34 - открытая онлайн библиотека что для любого значения Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №35 - открытая онлайн библиотека выполняются условия:

1) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №36 - открытая онлайн библиотека

2) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №37 - открытая онлайн библиотека

Число Т называется периодом функции.

3. Монотонность функции.

Пусть х1, х2 – произвольные значения из области Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №38 - открытая онлайн библиотека функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №39 - открытая онлайн библиотека такие, что Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №40 - открытая онлайн библиотека

Если при данном условии выполняется:

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №41 - открытая онлайн библиотека то функция называется возрастающей;

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №42 - открытая онлайн библиотека – убывающей;

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №43 - открытая онлайн библиотека – неубывающей;

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №44 - открытая онлайн библиотека – невозрастающей.

4. Промежутки знакопостоянства функции. Нули функции.

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (т. е. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №45 - открытая онлайн библиотека или Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №46 - открытая онлайн библиотека ), называются промежутками знакопостоянства.

Значения аргумента Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №47 - открытая онлайн библиотека при которых функция Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №48 - открытая онлайн библиотека называются нулями функции. Нули функции – это точки пересечения графика функции с осью Ох.

Пример 3.1.Найти область определения функции

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №49 - открытая онлайн библиотека

Решение Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №50 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №51 - открытая онлайн библиотека (3.1)

Найдем соответствующее Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №52 - открытая онлайн библиотека множество точек.

Неравенство Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №53 - открытая онлайн библиотека равносильно неравенству

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №54 - открытая онлайн библиотека

Решая его, получаем: Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №55 - открытая онлайн библиотека

х
+
+

Условие Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №56 - открытая онлайн библиотека означает, что Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №57 - открытая онлайн библиотека т. е. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №58 - открытая онлайн библиотека

Приходим к заключению, что Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №59 - открытая онлайн библиотека Получаем Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №60 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, система (3.1) равносильна системе

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №61 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №62 - открытая онлайн библиотека

Пример 3.2.Найти множество значений функции

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №63 - открытая онлайн библиотека

РешениеНайдем область определения функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №64 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №65 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №66 - открытая онлайн библиотека

Последнее условие выполняется только для Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №67 - открытая онлайн библиотека Вычисляем значение функции в этой точке: Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №68 - открытая онлайн библиотека Следовательно, Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №69 - открытая онлайн библиотека

Пример 3.3.Исследовать функцию на четность: Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №70 - открытая онлайн библиотека

РешениеЗамечаем, что функция Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №71 - открытая онлайн библиотека имеет Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №72 - открытая онлайн библиотека Следовательно, функция определена на симметричном множестве.

Рассмотрим ее значение для –х: Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №73 - открытая онлайн библиотека

Поскольку выполняются оба условия четности функции, заключаем, что функция Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №74 - открытая онлайн библиотека – четная.

Преобразования графиков

Приведем графики некоторых функций:

1) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №75 - открытая онлайн библиотека – прямая линия; 2) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №76 - открытая онлайн библиотека – квадратичная парабола;

y = x
y
 
х
y
х

3) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №77 - открытая онлайн библиотека – кубическая парабола; 4) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №78 - открытая онлайн библиотека – гипербола;

y
x
y = x3
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №79 - открытая онлайн библиотека
y
x
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №80 - открытая онлайн библиотека
y
x

5) Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №81 - открытая онлайн библиотека – график квадратного корня;

Правила преобразования графиков:

Пусть дана функция Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №82 - открытая онлайн библиотека

1. Для построения графика функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №83 - открытая онлайн библиотека исходный график функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №84 - открытая онлайн библиотека симметрично отображаем относительно оси Ох (рис. 1).

2. Для функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №85 - открытая онлайн библиотека заданный график симметрично отображаем относительно оси Оу (рис. 2).

y
x
y = f(x)
y = –f(x)
y
x
y = f(x)
y = f(–x)

Рис. 1 Рис. 2

3. Для функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №86 - открытая онлайн библиотека этот график получается параллельным переносом графика функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №87 - открытая онлайн библиотека на Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №88 - открытая онлайн библиотека масштабных единиц вдоль оси Оу вверх, если Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №89 - открытая онлайн библиотека и вниз, если Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №90 - открытая онлайн библиотека (рис. 3).

4. Для функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №91 - открытая онлайн библиотека этот график получается параллельным переносом графика функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №92 - открытая онлайн библиотека на Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №93 - открытая онлайн библиотека масштабных единиц вдоль оси Ох вправо, если Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №94 - открытая онлайн библиотека и влево, если Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №95 - открытая онлайн библиотека (рис. 4).

y
x
y = f(x) + b, b > 0
y = f(x)
y = f(x) + b, b < 0
y = f(x)
y
x
y = f(x + a), a > 0
y = f(x + a), a < 0



Рис. 3 Рис. 4

5. Для функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №96 - открытая онлайн библиотека где Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №97 - открытая онлайн библиотека график функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №98 - открытая онлайн библиотека «растянут» в k раз вдоль оси Оу (от оси Ох), если Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №99 - открытая онлайн библиотека «сжат» в Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №100 - открытая онлайн библиотека раз вдоль оси Оу (к оси Ох), если Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №101 - открытая онлайн библиотека (рис. 5).

y = f(x)
y = bf(x), 0 < b < 1
y = bf(x), b > 1
y
х

Рис. 5

6. Для функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №102 - открытая онлайн библиотека где Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №103 - открытая онлайн библиотека график Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №104 - открытая онлайн библиотека «растянут» вдоль оси Ох (от оси Оу) в Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №105 - открытая онлайн библиотека раз при Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №106 - открытая онлайн библиотека «сжат» вдоль Ох (коси Оу) в m раз, при Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №107 - открытая онлайн библиотека (рис. 6).

y = f(ax), 0 <a <1
y = f(ax), a > 1
y = f(x)
y
x

Рис. 6

7. Для функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №108 - открытая онлайн библиотека сохраняется та часть графика функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №109 - открытая онлайн библиотека которая находится над осью Ох и на оси Ох, а та часть, которая находится под осью Ох, отображается симметрично оси Ох в верхнюю полуплоскость (рис. 7).

y = |f(x)|
y = f(x)
y
x

Рис. 7

8. Для функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №110 - открытая онлайн библиотека часть графика функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №111 - открытая онлайн библиотека соответствующая отрицательному значению х, отбрасывается, а неотрицательному – сохраняется и дополняется симметричной ей относительно оси Оу частью (рис. 8).

y = f(x)
y
x
y = f(|x|)

Рис. 8

Пример 3.4. Построить график функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №112 - открытая онлайн библиотека

Решение Преобразуем заданную функцию:

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №113 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №114 - открытая онлайн библиотека

Получили Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №115 - открытая онлайн библиотека

Для построения графика полученной функции используем следующие преобразования:

1) строим график функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №116 - открытая онлайн библиотека

2) график функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №117 - открытая онлайн библиотека получаем из графика функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №118 - открытая онлайн библиотека путем движения его на единицу влево по оси Ох;

3) график функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №119 - открытая онлайн библиотека получаем из предыдущего симметричным отображением относительно оси Ох;

4) график заданной функции получаем из графика функции Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №120 - открытая онлайн библиотека параллельным переносом на две единицы вниз по оси Оу (рис. 9).

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №121 - открытая онлайн библиотека

–3
х
–1
–2
у
1)
2)
3)
4)

Рис. 9

Числовая последовательность

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие число Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №122 - открытая онлайн библиотека . Числовую последовательность обозначают Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №123 - открытая онлайн библиотека , т. е. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №124 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №125 - открытая онлайн библиотека – n-й член последовательности, а формула Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №126 - открытая онлайн библиотека называется формулой общего члена последовательности.

Зная функцию Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №127 - открытая онлайн библиотека и номер n, можно вычислить любой член последовательности.

Пример 3.5. Определить, является ли число 28 членом последовательности Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №128 - открытая онлайн библиотека если Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №129 - открытая онлайн библиотека

Решение Число 28 является членом последовательности, если найдется такой номер Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №130 - открытая онлайн библиотека для которого выполняется равенство Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №131 - открытая онлайн библиотека Решим это квадратное уравнение Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №132 - открытая онлайн библиотека т. е. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №133 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №134 - открытая онлайн библиотека Числа Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №135 - открытая онлайн библиотека следовательно, число 28 не является членом данной последовательности.

Пример 3.6. Вычислить первые пять членов последовательности Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №136 - открытая онлайн библиотека , если Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №137 - открытая онлайн библиотека . Определить, для каких членов последовательности Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №138 - открытая онлайн библиотека выполняется условие Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №139 - открытая онлайн библиотека .

Решение Подставляя в формулу общего члена значение n = 1, 2, 3, 4, 5, получим:

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №140 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №141 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №142 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №143 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №144 - открытая онлайн библиотека

Решим неравенство Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №145 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №146 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №147 - открытая онлайн библиотека

Решением этого неравенства будут Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №148 - открытая онлайн библиотека Поэтому, для любых членов последовательности с номерами от 1 до 20 включительно выполняется условие Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса - №149 - открытая онлайн библиотека

Контрольные врпросы

1. Как определяется функция?

2. Что такое график функции?

3. Какие способы задания функции вы знаете?

4. Какая функция называется четной?

5. Что такое период функции?

6. Что такое промежутки знакопостоянства?

7. Как определяется числовая последовательность?

8. Какими способами можно задать последовательность?

9. Какие последовательности называются монотонными?

10. Что такое ограниченная последовательность?