Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ

Актуальной задачей является синтез ЦФ с линейной ФЧХ. Такие фильтры позволяют передавать сигналы без искажения их формы.

Расчет нерекурсивных цифровых фильтров с линейной фазочастотной характеристикой является более сложной задачей.

Линейность ФЧХ нерекурсивных фильтров обеспечивается при выполнении единственного условия – симметрии или антисимметрии его импульсной характеристики:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №1 - открытая онлайн библиотека , (3.1)

где Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №2 - открытая онлайн библиотека - полное число отсчетов импульсной характеристики, включая нулевой.

Нерекурсивные цифровые фильтры, имеющие линейную ФЧХ, различаются по своим показателям в зависимости от того, являются ли их импульсные характеристики симметричными или антисимметричными, а также от четности или нечетности числа отсчетов. Соответственно, существуют четыре типа нерекурсивных фильтров с линейными ФЧХ.

Симметричные фильтры с четным числом отсчетов N

Симметрия импульсной характеристики таких фильтров определяется выражением:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №3 - открытая онлайн библиотека . (3.2)

Осью симметрии в соответствии с рисунком является вертикальная прямая, пересекающая ось абсцисс в точке Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №4 - открытая онлайн библиотека : рисунок 3.1.

Передаточная характеристика такого фильтра с учетом свойства симметрии описывается выражением:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №5 - открытая онлайн библиотека . (3.3)

После преобразований можно получить выражение для комплексного коэффициента передачи фильтра с учетом замены Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №6 - открытая онлайн библиотека :

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №7 - открытая онлайн библиотека . (3.3)

Соответственно, вещественная частотная характеристика (ЧХ) и ФЧХ фильтра имеют вид:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №8 - открытая онлайн библиотека ; (3.4)

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №9 - открытая онлайн библиотека . (3.5)

Рисунок 3.1 – характеристики рекурсивного фильтра типа 1

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №11 - открытая онлайн библиотека

ЧХ является четной функцией аргумента Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №12 - открытая онлайн библиотека . На частоте, соответствующей частоте Найквиста Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №13 - открытая онлайн библиотека , ЧХ всегда равна нулю.

ФЧХ является линейно-разрывной функцией. ФЧХ антисимметрична относительно частоты Найквиста:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №14 - открытая онлайн библиотека . (3.6)

Возможно реализовывать только ФНЧ и ПФ. Невозможно реализовывать ФВЧ и РФ.

Антисимметричные фильтры с четным числом отсчетов N

Антисимметрия импульсной характеристики таких фильтров определяется выражением:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №15 - открытая онлайн библиотека . (3.7)

Осью симметрии в соответствии с рисунком является вертикальная прямая, пересекающая ось абсцисс в точке Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №4 - открытая онлайн библиотека : рисунок 3.2.

Выражение для комплексного коэффициента передачи такого фильтра с учетом замены Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №6 - открытая онлайн библиотека может быть получено в виде:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №18 - открытая онлайн библиотека . (3.8)

Соответственно, вещественная частотная характеристика (ЧХ) и ФЧХ фильтра имеют вид:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №19 - открытая онлайн библиотека ; (3.9)

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №20 - открытая онлайн библиотека . (3.10)

ЧХ является нечетной функцией аргумента Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №12 - открытая онлайн библиотека . На нулевой частоте ЧХ равна нулю.

ФЧХ является линейно-разрывной функцией, антисимметрична относительно частоты Найквиста:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №14 - открытая онлайн библиотека . (3.11)

Рисунок 3.2 – характеристики рекурсивного фильтра типа 2

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №24 - открытая онлайн библиотека

Возможна реализация фильтров ФВЧ и ПФ. Фильтр непригоден для проектирования ФНЧ. В связи со сдвигом фазы на 90° фильтр может использоваться для создания цифрового преобразователя Гильберта.Также возможно создание дифференциаторов.

Симметричные фильтры с нечетным N

Симметрия импульсной характеристики таких фильтров определяется выражением:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №3 - открытая онлайн библиотека . (3.12)

Осью симметрии в соответствии с рисунком является вертикальная прямая, пересекающая ось абсцисс через отсчет с номером Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №4 - открытая онлайн библиотека .

Соответственно, вещественная ЧХ фильтра имеет вид:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №27 - открытая онлайн библиотека . (3.13)

В соответствии с выражением (3.13) ЧХ является четной функцией частоты. Причем ЧХ не равна нулю не только при нулевом значении частоты, но и на частоте Найквиста.

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №28 - открытая онлайн библиотека

Такие фильтры могут использоваться для реализации фильтров произвольной избирательности (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ и др.).

Антисимметричные фильтры с нечетным N

Симметрия импульсной характеристики таких фильтров определяется выражением:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №29 - открытая онлайн библиотека . (3.14)

Осью симметрии в соответствии с рисунком вертикальная прямая, пересекающая ось абсцисс через отсчет с номером Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №4 - открытая онлайн библиотека . Значение отсчета в центре антисимметрии равно нулю: Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №31 - открытая онлайн библиотека

Соответственно, ЧХ фильтра имеет вид:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №32 - открытая онлайн библиотека . (3.15)

В соответствии с выражением (3.15) ЧХ является нечетной функцией частоты. Причем ЧХ равна нулю как при нулевом значении частоты, так и на частоте Найквиста.

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №33 - открытая онлайн библиотека

Такой фильтр целесообразно использовать только при проектировании полосового фильтра.

Литература

Маркович И.И. Цифровая обработка сигналов в системах и устройствах: монография / И.И. Маркович; Южный федеральный университет. – Ростов н/Д: Издательство Южного федерального университета, 2012. – 236 с. (стр. 108)

Гадзиковский В.И. Цифровая обработка сигналов. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2013. – 766 с. (с. 102)

Синтез ЦФ с линейной ФЧХ

Синтез ЦФ с линейной ФЧХ основан на представлении комплексной частотной характеристики фильтра Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №34 - открытая онлайн библиотека в виде произведения вещественной частотной характеристики Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №35 - открытая онлайн библиотека и фазового множителя Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №36 - открытая онлайн библиотека :

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №37 - открытая онлайн библиотека . (3.16)

Вещественную частотную характеристику (ЧХ), как периодическую функцию частоты, можно представить рядом Фурье:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №38 - открытая онлайн библиотека , (3.17)

где Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №39 - открытая онлайн библиотека .

Комплексную частотную характеристику с учетом (3.17) можно представить в виде:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №40 - открытая онлайн библиотека . (3.18)

Учтем, что в общем случае комплексная частотная характеристика ЦФ определяется z-преобразованием от импульсной характеристики:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №41 - открытая онлайн библиотека . (3.19)

В соответствии с выражениями (3.19) и (3.18) импульсную характеристику ЦФ можно представить через коэффициенты Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №42 - открытая онлайн библиотека ряда Фурье:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №43 - открытая онлайн библиотека . (3.20)

Ограничим импульсную характеристику конечным числом отсчетов Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №44 - открытая онлайн библиотека и потребуем, чтобы ФЧХ фильтра являлась линейной:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №45 - открытая онлайн библиотека . (3.21)

В этом случае импульсная характеристика ЦФ (3.20) примет вид:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №46 - открытая онлайн библиотека . (3.22)

В операторной форме с учетом Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №47 - открытая онлайн библиотека выражение (3.22) запишется следующим образом:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №48 - открытая онлайн библиотека . (3.23)

Множитель Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №49 - открытая онлайн библиотека можно рассматривать как оператор сдвига, смещающий последовательность коэффициентов Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №50 - открытая онлайн библиотека в сторону положительных значений Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №51 - открытая онлайн библиотека на интервал Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №52 - открытая онлайн библиотека :

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №53 - открытая онлайн библиотека . (3.24)

Таким образом, с учетом выражения (3.17) импульсную характеристику ЦФ (3.24) можно записать в виде:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №54 - открытая онлайн библиотека . (3.25)

Для четных и нечетных функций частоты Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №55 - открытая онлайн библиотека выражение (3.25) с учетом Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №56 - открытая онлайн библиотека конкретизируется следующим образом:

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №57 - открытая онлайн библиотека ; (3.26)

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №58 - открытая онлайн библиотека . (3.27)

С учетом действительного характера импульсной характеристики комплексный множитель Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №59 - открытая онлайн библиотека в выражении (3.27) следует отнести к ФЧХ фильтра с нечетной функцией Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №55 - открытая онлайн библиотека , добавив к ней постоянное угловое смещение Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №61 - открытая онлайн библиотека :

Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №62 - открытая онлайн библиотека .

В этом случае множитель Схемы и характеристики нерекурсивных фильтров с линейной ФЧХ - №63 - открытая онлайн библиотека в выражении (3.27) можно не учитывать. Соответственно, можно сделать вывод, что ЦФ с линейной фазой и нечетной частотной характеристикой могут использоваться для синтеза цифрового преобразования Гильберта, обеспечивающего сдвиг по фазе на 90°.