Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

При решении системы линейных уравнений часто применяется метод Гаусса. Сущность этого метода поясним на примерах.

  1. Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №1 - открытая онлайн библиотека

Решение.

Исключим из последних двух уравнений х1. Для этого умножим первое уравнение на -5 и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на -3 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №2 - открытая онлайн библиотека Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №3 - открытая онлайн библиотека (1)

Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №4 - открытая онлайн библиотека (2)

Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) х2.

Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на - 7 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №5 - открытая онлайн библиотека (3)

Откуда х3 =3, х2=1 и х1=–2. Это решение заданной системы

Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №6 - открытая онлайн библиотека .

Умножим элементы первой строки матрицы на - 5 и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на - 3 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №7 - открытая онлайн библиотека .

Разделив элементы второй строки на 2, получим

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №8 - открытая онлайн библиотека .

Элементы второй строки умножим на - 7 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №9 - открытая онлайн библиотека ,

которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.

  1. Рассмотрим систему уравнений

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №10 - открытая онлайн библиотека

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №11 - открытая онлайн библиотека

Умножим элементы первой строки последовательно на -2, -4 и -5. Полученные результаты прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №12 - открытая онлайн библиотека

Элементы второй строки умножим на 6 и результаты прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №13 - открытая онлайн библиотека

Элементы третьей строки разделим на -2 и затем элементы четвертой строки прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №2 - открытая онлайн библиотека Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №15 - открытая онлайн библиотека

Теперь элементы третьей строки умножим на 13 и результаты прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №16 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, данную систему можно записать так:

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №17 - открытая онлайн библиотека

Откуда х4 =0, х3=2, х2=–1 и х1=–3.

Матрицы, получаемые после соответствующих преобразований, являются эквивалентами. Их принято соединять знаком ~ .

Задачи для расчетной работы №2

Часть I

В задачах 1-20 решить данную систему уравнений пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.

1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №18 - открытая онлайн библиотека 2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №19 - открытая онлайн библиотека

3. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №20 - открытая онлайн библиотека 4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №21 - открытая онлайн библиотека

5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №22 - открытая онлайн библиотека 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №23 - открытая онлайн библиотека

7. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №24 - открытая онлайн библиотека 8. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №25 - открытая онлайн библиотека

9. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №26 - открытая онлайн библиотека 10. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №27 - открытая онлайн библиотека

11. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №28 - открытая онлайн библиотека 12. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №29 - открытая онлайн библиотека

13. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №30 - открытая онлайн библиотека 14. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №31 - открытая онлайн библиотека

15. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №32 - открытая онлайн библиотека 16. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №33 - открытая онлайн библиотека

17. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №34 - открытая онлайн библиотека 18. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №35 - открытая онлайн библиотека

19. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №36 - открытая онлайн библиотека 20. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №37 - открытая онлайн библиотека

Часть II

В задачах 1-20 систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения

1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №38 - открытая онлайн библиотека 2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №39 - открытая онлайн библиотека

3. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №40 - открытая онлайн библиотека 4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №41 - открытая онлайн библиотека

5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №42 - открытая онлайн библиотека 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №43 - открытая онлайн библиотека

7. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №44 - открытая онлайн библиотека 8. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №45 - открытая онлайн библиотека

9. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №46 - открытая онлайн библиотека 10. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №47 - открытая онлайн библиотека

11. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №48 - открытая онлайн библиотека 12. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №49 - открытая онлайн библиотека

13. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №50 - открытая онлайн библиотека 14. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №51 - открытая онлайн библиотека

15. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №52 - открытая онлайн библиотека 16. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №53 - открытая онлайн библиотека

17. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №54 - открытая онлайн библиотека 18. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №55 - открытая онлайн библиотека

19. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №56 - открытая онлайн библиотека 20. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №57 - открытая онлайн библиотека

Часть III

В задачах 1-10 решить данную систему уравнений методом Гаусса. Рекомендуется преобразования, связанные с последовательным исключением неизвестных, применять к расширенной матрице данной системы. Сделать проверку полученного решения.

1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №58 - открытая онлайн библиотека 2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №59 - открытая онлайн библиотека

3. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №60 - открытая онлайн библиотека 4. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №61 - открытая онлайн библиотека

5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №62 - открытая онлайн библиотека 6. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №63 - открытая онлайн библиотека

7. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №64 - открытая онлайн библиотека 8. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №65 - открытая онлайн библиотека

9. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №66 - открытая онлайн библиотека 10. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса - №67 - открытая онлайн библиотека