Основные подходы к построению математических моделей систем

Математическая схема – это звено при переходе от содержательного к формализованному описанию процесса функционирования системы с учётом воздействия внешней среды, т.е. имеет место цепочка: описательная модель – математическая схема – имитационная модель.

Каждая конкретная система S характеризуется набором свойств, под которыми понимаются величины, отображающие поведение моделируемого объекта (реальной системы) и учитываются условия её функционирования во взаимодействии с внешней средой (системой) Е.

Полнота моделирования регулируется, в основном, выбором границ «Система S – среда E».

Математическую модель (ММ) объекта моделирования, т.е. системы S можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования реальной системы и образующих в общем случае следующие подмножества:

- совокупность входных воздействий на S Основные подходы к построению математических моделей систем - №1 - открытая онлайн библиотека ;

- совокупность воздействий внешней среды Основные подходы к построению математических моделей систем - №2 - открытая онлайн библиотека ;

- совокупность внутренних (собственных) параметров системы Основные подходы к построению математических моделей систем - №3 - открытая онлайн библиотека ;

- совокупность выходных характеристик системы Основные подходы к построению математических моделей систем - №4 - открытая онлайн библиотека .

В перечисленных множествах можно выделить управляемые и неуправляемые величины. В общем случае непересекающиеся множества X, V, H, Y содержат как детерминированные так и стохастические составляющие. Входные воздействия E и внутренние параметры S являются независимыми (экзогенными) переменными, Основные подходы к построению математических моделей систем - №5 - открытая онлайн библиотека . Выходные характеристики – зависимые (эндогенные) переменные Основные подходы к построению математических моделей систем - №6 - открытая онлайн библиотека . Процесс функционирования S описывается оператором FS:

Основные подходы к построению математических моделей систем - №7 - открытая онлайн библиотека , (3.1)

где Основные подходы к построению математических моделей систем - №6 - открытая онлайн библиотека – выходная траектория, FS – закон функционирования S. FS может быть функция, функционал, логические условия, алгоритм, таблица или словесное описание правил.

Алгоритм функционирования AS – метод получения выходных характеристик Основные подходы к построению математических моделей систем - №6 - открытая онлайн библиотека с учётом входных воздействий Основные подходы к построению математических моделей систем - №5 - открытая онлайн библиотека . Очевидно один и тот же FS может быть реализован различными способами, т.е. с помощью множества различных AS.

Соотношение (3.1) является математическим описанием поведения объекта S моделирования во времени t, т.е. отражает его динамические свойства. (3.1) – это динамическая модель системы S. Для статических условий ММ есть отображения X, V, H в Y:

Основные подходы к построению математических моделей систем - №11 - открытая онлайн библиотека . (3.2)

Соотношения (3.1), (3.2) могут быть заданы формулами, таблицами и т.д. Также соотношения в ряде случаев могут быть получены через свойства системы в конкретные моменты времени, называемые состояниями.

Состояния системы S характеризуются векторами:

Основные подходы к построению математических моделей систем - №12 - открытая онлайн библиотека и Основные подходы к построению математических моделей систем - №13 - открытая онлайн библиотека , где Основные подходы к построению математических моделей систем - №14 - открытая онлайн библиотека в момент Основные подходы к построению математических моделей систем - №15 - открытая онлайн библиотека ; Основные подходы к построению математических моделей систем - №16 - открытая онлайн библиотека в момент Основные подходы к построению математических моделей систем - №17 - открытая онлайн библиотека и т.д., k = 1, …, nZ.

Z1(t), Z2(t), …, Zk(t) – это координаты точки в k-мерном фазовом пространстве. Каждой реализации процесса будет соответствовать некоторая фазовая траектория.

Совокупность всех возможных значений состояний Основные подходы к построению математических моделей систем - №18 - открытая онлайн библиотека называется пространством состояний объекта моделирования Z, причём zk Î Z.

Состояние системы S в интервале времени t0 < t £ T полностью определяется начальными условиями Основные подходы к построению математических моделей систем - №19 - открытая онлайн библиотека , где Основные подходы к построению математических моделей систем - №20 - открытая онлайн библиотека , …; входными воздействиями Основные подходы к построению математических моделей систем - №21 - открытая онлайн библиотека , внутренними параметрами Основные подходы к построению математических моделей систем - №22 - открытая онлайн библиотека и воздействиями внешней среды Основные подходы к построению математических моделей систем - №23 - открытая онлайн библиотека , которые имели место за промежуток времени t* – t0 c помощью 2-х векторных уравнений:

Основные подходы к построению математических моделей систем - №24 - открытая онлайн библиотека (3.3)

Основные подходы к построению математических моделей систем - №25 - открытая онлайн библиотека (3.4)

иначе: Основные подходы к построению математических моделей систем - №26 - открытая онлайн библиотека (3.5)

Время в модели S может рассматриваться на интервале моделирования (t0, T) как непрерывное, так и дискретное, т.е. квантованное на отрезке длиной Dt.

Таким образом, под ММ объекта понимаем конечное множество переменных Основные подходы к построению математических моделей систем - №27 - открытая онлайн библиотека вместе с математическими связями между ними и характеристиками Основные подходы к построению математических моделей систем - №28 - открытая онлайн библиотека .

Моделирование называется детерминированным, если операторы F, Ф – детерминированные. Детерминированное моделирование – частный случай стохастического моделирования. В практике моделирования объектов в области системного анализа на первичных этапах исследования рациональнее использовать типовые математические схемы: дифференциальные уравнения, конечные и вероятностные автоматы, СМО и т.д. Не обладая такой степенью общности, как модели (3.3), (3.4), типовые математические схемы имеют преимущество простоты и наглядности, но при существенном сужении возможности применения.

В качестве детерминированных моделей, когда при исследовании случайный факт не учитывается, для представления систем, функционирующих в непрерывном времени, используются дифференциальные, интегральные и другие уравнения, а для представления систем, функционирующих в дискретном времени – конечные автоматы и конечно-разностные схемы.

В стохастических моделях (при учёте случайного фактора) для представления систем с дискретным временем используются вероятностные автоматы, а для представления систем с непрерывным временем – системы массового обслуживания (СМО). Большое практическое значение при исследовании сложных индивидуальных управленческих систем, к которым относятся АСУ, имеют так называемые агрегативные модели.

Aгрегативные модели (системы) позволяют описать широкий круг объектов исследования с отображением системного характера этих объектов. Именно при агрегативном описании сложный объект расчленяется на конечное число частей (подсистем), сохраняя при этом связи, обеспечивая взаимодействие частей.