При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения

       Для того, чтобы функция При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №1 - открытая онлайн библиотека  являлась решением исходного дифференциального уравнения, необходимо и достаточно, чтобы

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №2 - открытая онлайн библиотека  т.е. При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №3 - открытая онлайн библиотека

       Т.к. ekx ¹ 0, то При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №4 - открытая онлайн библиотека  - это уравнение называется характеристическим уравнением.

       Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №5 - открытая онлайн библиотека  имеет n корней. Каждому корню характеристического уравнения ki соответствует решение дифференциального уравнения.

       В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные.

       Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

       1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

       2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

                   a) каждому действительному корню соответствует решение ekx;

б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений:

                                      При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №6 - открытая онлайн библиотека

в) каждой паре комплексно – сопряженных корней При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №7 - открытая онлайн библиотека  характеристического уравнение ставится в соответствие два решения:

                                      При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №8 - открытая онлайн библиотека   и При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №9 - открытая онлайн библиотека .

г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №7 - открытая онлайн библиотека  характеристического уравнения ставится в соответствие 2m решений:

                                                       При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №11 - открытая онлайн библиотека

       3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.

Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

       Пример. Решить уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №12 - открытая онлайн библиотека .

Составим характеристическое уравнение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №13 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №14 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №15 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №16 - открытая онлайн библиотека

Общее решение имеет вид: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №17 - открытая онлайн библиотека

       Пример. Решить уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №18 - открытая онлайн библиотека

Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение.

       Таким частным решением будет являться функция При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №19 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №20 - открытая онлайн библиотека

Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №21 - открытая онлайн библиотека

Общее решение имеет вид: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №22 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №23 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №24 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №25 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №26 - открытая онлайн библиотека

Окончательно: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №27 - открытая онлайн библиотека

               

       Пример. Решить уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №28 - открытая онлайн библиотека

Составим характеристическое уравнение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №29 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №30 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №31 - открытая онлайн библиотека        Общее решение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №32 - открытая онлайн библиотека

       Пример. Решить уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №33 - открытая онлайн библиотека

Характеристическое уравнение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №34 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №35 - открытая онлайн библиотека

Общее решение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №36 - открытая онлайн библиотека

       Пример. Решить уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №37 - открытая онлайн библиотека

Характеристическое уравнение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №38 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №39 - открытая онлайн библиотека                                                                                                        При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №40 - открытая онлайн библиотека

Общее решение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №41 - открытая онлайн библиотека

       Пример. Решить уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №42 - открытая онлайн библиотека

Характеристическое уравнение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №43 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №44 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №45 - открытая онлайн библиотека

Общее решение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №46 - открытая онлайн библиотека

           

       Пример. Решить уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №47 - открытая онлайн библиотека

Характеристическое уравнение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №48 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №49 - открытая онлайн библиотека

Общее решение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №50 - открытая онлайн библиотека

       Пример. Решить уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №51 - открытая онлайн библиотека

Характеристическое уравнение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №52 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №53 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №54 - открытая онлайн библиотека

Общее решение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №55 - открытая онлайн библиотека

       Пример. Решить уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №56 - открытая онлайн библиотека

Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим.

       Понизим порядок уравнения с помощью подстановки При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №57 - открытая онлайн библиотека

Тогда При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №58 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №59 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №60 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №61 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №62 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №63 - открытая онлайн библиотека

Окончательно получаем: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №64 - открытая онлайн библиотека

Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0.

       Пример. Решить уравнение При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №65 - открытая онлайн библиотека

Производим замену переменной: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №66 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №67 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №68 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №69 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №70 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №71 - открытая онлайн библиотека

При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №72 - открытая онлайн библиотека

Общее решение: При этом многочлен  называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения - №73 - открытая онлайн библиотека