Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности

2.1. Сколько элементарных исходов благоприятствуют событию? а) Опыт: подбрасывание двух игральных кубиков. Событие – на обоих кубиках выпало одинаковое число очков. б) Опыт: из урны с пронумерованными от 1 до 30 карточками вытягивается одна. Событие – число на взятой карточке кратно 5. в) Опыт: из букв слова «дифференциал» наугад выбирается одна буква. Событие – извлеченная буква является гласной. г) Опыт: наблюдается время ожидания маршрутного такси пассажиром. Событие – время ожидания более двух минут. д) Опыт: выбирается наудачу точка внутри квадрата. Событие – выбранная точка попала в круг, вписанный в квадрат. Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
2.2. Разобрать решение задач, заполнив пропуски
Задача1. В коробке находится 10 шаров. 3 красных, 2 зеленых, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. Решение. Появление красного, зеленого или белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №1 - открытая онлайн библиотека , появление зеленого – событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №2 - открытая онлайн библиотека , появление белого – событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №3 - открытая онлайн библиотека . Число исходов, благоприятствующих событию Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №4 - открытая онлайн библиотека : Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №5 - открытая онлайн библиотека , событию Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №6 - открытая онлайн библиотека : Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №7 - открытая онлайн библиотека , событию Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №8 - открытая онлайн библиотека : Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №9 - открытая онлайн библиотека . А число всех исходов Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №10 - открытая онлайн библиотека . Тогда в соответствии с формулами, получаем: Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №11 - открытая онлайн библиотека Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №12 - открытая онлайн библиотека Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №13 - открытая онлайн библиотека
Задача 2.На четырех карточках написаны буквы «а», «б», «й», «т». Карточки перемеши­ваются и выкладываются в ряд. Найти вероятность того, что образовавшееся слово будет «байт». Решение. Обозначим появление слова «байт» событием Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №14 - открытая онлайн библиотека . В соответствии с комбинаторными принципами для определения общего числа элементарных исходов нужно подсчитать число упорядоченных наборов из четырех букв. Мы имеем дело с числом перестановок, поэтому число элементарных исходов Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №15 - открытая онлайн библиотека Слово «байт» образует только одна перестановка, то есть число благоприятных для со­бытия Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №16 - открытая онлайн библиотека элементарных исходов Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №17 - открытая онлайн библиотека Поэтому Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №18 - открытая онлайн библиотека
Задача 3. Из букв слова «ротор», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «тор»? Решение. Обозначим появление слова «тор» событием Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №14 - открытая онлайн библиотека . Чтобы подсчитать количество исходов, благоприятствующих событию Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №14 - открытая онлайн библиотека , одинаковые буквы снабдим номерами: «р1», «р2», «о1», «о2». Тогда слово «тор» получится в Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №21 - открытая онлайн библиотека случаях («то1р1», «то1р2» , «то2р1», «то2р2»). Здесь мы пользуемся правилом произведения: букву «т» можно выбрать одним способом, букву «о» - двумя, букву «р» - двумя способами. Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №22 - открытая онлайн библиотека Общее число элементарных исходов равно: Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №23 - открытая онлайн библиотека Тогда искомая вероятность Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №24 - открытая онлайн библиотека
Задача 4.Даны 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Найти вероятность того, что, выбрав наугад две точки, учащийся получит нужную прямую. Решение. Пусть событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №16 - открытая онлайн библиотека – выбор искомой прямой. Число всевозможных исходов равно количеству прямых, проходящих через заданные пять точек. Так как прямая определяется парой точек и порядок точек внутри этой пары не имеет значения, то каждая пара должна отличаться хотя бы одной точкой. Следовательно, нужно найти число сочетаний из пяти элементов по два, т.е. Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №26 - открытая онлайн библиотека Искомой является только одна пара точек, значит число благоприятных для события Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №16 - открытая онлайн библиотека элементарных исходов Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №17 - открытая онлайн библиотека Поэтому Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №29 - открытая онлайн библиотека
Задача 5.В первом ящике находится 15 бракованных и 10 годных деталей, которые тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что а) извлеченная деталь годная (событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №30 - открытая онлайн библиотека ); б) три извлеченные детали годные (событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №2 - открытая онлайн библиотека ); в) из трех извлеченных деталей две годные (событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №3 - открытая онлайн библиотека ). г) три извлеченные детали одного «достоинства» (событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №33 - открытая онлайн библиотека ) Решение. В этой задаче имеем дело с конечной схемой равновозможных исходов. Поэтому возможно применение классического определения вероятности. а) Число исходов, благоприятствующих событию Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №4 - открытая онлайн библиотека : Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №35 - открытая онлайн библиотека А число всех исходов: Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №36 - открытая онлайн библиотека Поэтому Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №37 - открытая онлайн библиотека Выбор трех деталей из 25 можно осуществить   Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №38 - открытая онлайн библиотека способами. б) Извлечь три годные детали возможно   Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №39 - открытая онлайн библиотека способами. Тогда Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №40 - открытая онлайн библиотека   в) Извлечь две годные детали и одну бракованную деталь возможно (по основному правилу комбинаторики – правилу умножения)   Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №41 - открытая онлайн библиотека способами.   Тогда Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №42 - открытая онлайн библиотека   г) Событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №33 - открытая онлайн библиотека означает, что извлеченные детали либо годные, либо бракованные. Значит, по основному правилу комбинаторики – правилу сложения получаем, что общее число случаев, благоприятствующих событию Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №33 - открытая онлайн библиотека равно   Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №45 - открытая онлайн библиотека   Тогда Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №46 - открытая онлайн библиотека
Замечание.Задачу 5в можно решить, используя урновую схему: в урне имеется Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №47 - открытая онлайн библиотека шаров, из них Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №48 - открытая онлайн библиотека первого вида, Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №49 - открытая онлайн библиотека второго вида. Из данной урны извлекается Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №50 - открытая онлайн библиотека шаров. Требуется определить вероятность того, что в выборке объема Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №51 - открытая онлайн библиотека будет обнаружено Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №52 - открытая онлайн библиотека шаров первого вида и Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №53 - открытая онлайн библиотека второго. Обозначив через событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №30 - открытая онлайн библиотека «в выборке объема Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №51 - открытая онлайн библиотека имеется Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №52 - открытая онлайн библиотека шаров первого вида и Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №57 - открытая онлайн библиотека второго», получим что, Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №58 - открытая онлайн библиотека . Знаменатель этой дроби представляет собой число возможных исходов опыта, то есть количество различных наборов по Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №50 - открытая онлайн библиотека элементов, выбранных из Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №47 - открытая онлайн библиотека имеющихся без учета их качественного состава. В числителе - число благоприятных исходов, представляющее собой число возможных наборов из Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №52 - открытая онлайн библиотека элементов нужного вида, умноженное на количество возможных наборов из Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №53 - открытая онлайн библиотека предметов второго типа.  
Задача 6. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в партии из случайно отобранных 100 книг. Найти относительную частоту появления бракованных книг. Решение. Событие Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №30 - открытая онлайн библиотека – появление бракованных книг. Из условия задачи число испытаний, в которых наступило событие равно Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №64 - открытая онлайн библиотека . А общее количество испытаний – Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №65 - открытая онлайн библиотека . Тогда относительная частота события Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №30 - открытая онлайн библиотека определяется равенством Решение задач на классическое и статистическое определение вероятности - №67 - открытая онлайн библиотека .
2.3. Решить задачу
Задача 7. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача 8. Имеется пять отрезков, длины которых соответственно равны: 1, 3, 5, 7, 9 см. Определить вероятность того, что с помощью взятых наудачу трех отрезков можно построить треугольник.
Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача9.При стрельбе по мишени частота попаданий 0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах. Решение.
                                                               
                                                               
Задача10.На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел. Решение.