Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №1 - открытая онлайн библиотека

Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №2 - открытая онлайн библиотека . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №3 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №4 - открытая онлайн библиотека

Тогда Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №5 - открытая онлайн библиотека

Таким образом: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №6 - открытая онлайн библиотека

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №7 - открытая онлайн библиотека

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №8 - открытая онлайн библиотека

Интеграл вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №1 - открытая онлайн библиотека если

функция R является нечетной относительно cosx

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №10 - открытая онлайн библиотека

Функция Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №11 - открытая онлайн библиотека может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №12 - открытая онлайн библиотека

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №13 - открытая онлайн библиотека

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

Интеграл вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №1 - открытая онлайн библиотека если

функция R является нечетной относительно sinx

По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №15 - открытая онлайн библиотека

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №16 - открытая онлайн библиотека

Интеграл вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №1 - открытая онлайн библиотека

функция R четная относительно sinx и cosx



Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №18 - открытая онлайн библиотека

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №19 - открытая онлайн библиотека

Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов

В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №20 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №21 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №22 - открытая онлайн библиотека

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №23 - открытая онлайн библиотека

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №24 - открытая онлайн библиотека

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №25 - открытая онлайн библиотека

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №26 - открытая онлайн библиотека

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.

Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №27 - открытая онлайн библиотека

Итого Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №28 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №29 - открытая онлайн библиотека