Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница

Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими.

Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.

Определение. Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.

Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №1 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №2 - открытая онлайн библиотека

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Условное математическое ожидание.

Определение. Условным математическим ожиданиемдискретной случайной величины Y при X = x (х – определенное возможное значение Х) называется произведение всех возможных значений Y на их условные вероятности.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №3 - открытая онлайн библиотека

Для непрерывных случайных величин:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №4 - открытая онлайн библиотека ,

где f(y/x) – условная плотность случайной величины Y при X=x.

Условное математическое ожидание M(Y/x)=f(x) является функцией от х и называется функцией регрессии Х на Y.

Пример. Найти условное математическое ожидание составляющей Y при

X= x1=1 для дискретной двумерной случайной величины, заданной таблицей:

Y X
x1=1 x2=3 x3=4 x4=8
y1=3 0,15 0,06 0,25 0,04
y2=6 0,30 0,10 0,03 0,07

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №5 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №6 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №7 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №8 - открытая онлайн библиотека

Аналогично определяются условная дисперсия и условные моменты системы случайных величин.

Зависимые и независимые случайные величины.

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

Понятие зависимости случайных величин является очень важным в теории вероятностей.

Условные распределения независимых случайных величин равны их безусловным распределениям.

Определим необходимые и достаточные условия независимости случайных величин.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №9 - открытая онлайн библиотека

Аналогичную теорему можно сформулировать и для плотности распределения:

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №10 - открытая онлайн библиотека

Определение. Корреляционным моментом mxyслучайных величин Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №11 - открытая онлайн библиотека

Практически используются формулы:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №12 - открытая онлайн библиотека

Для дискретных случайных величин: Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №13 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №14 - открытая онлайн библиотека

Для непрерывных случайных величин: Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №15 - открытая онлайн библиотека

Корреляционный момент служит для того, чтобы охарактеризовать связь между случайными величинами. Если случайные величины независимы, то их корреляционный момент равен нулю.

Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей случайных величин Х и Y. Этот факт является недостатком этой числовой характеристики, т.к. при различных единицах измерения получаются различные корреляционные моменты, что затрудняет сравнение корреляционных моментов различных случайных величин.

Для того, чтобы устранить этот недостаток применятся другая характеристика – коэффициент корреляции.

Определение. Коэффициентом корреляции rxy случайных величин Х и Y называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №16 - открытая онлайн библиотека Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №17 - открытая онлайн библиотека

Коэффициент корреляции является безразмерной величиной. Коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю.

Свойство: Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин Х и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №18 - открытая онлайн библиотека

Свойство: Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №19 - открытая онлайн библиотека

Случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент отличен от нуля, и некоррелированными, если их корреляционный момент равен нулю.

Если случайные величины независимы, то они и некоррелированы, но из некоррелированности нельзя сделать вывод о их независимости.

Если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными.

Часто по заданной плотности распределения системы случайных величин можно определить зависимость или независимость этих величин.

Наряду с коэффициентом корреляции степень зависимости случайных величин можно охарактеризовать и другой величиной, которая называется коэффициентом ковариации. Коэффициент ковариации определяется формулой:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №20 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №21 - открытая онлайн библиотека

Пример. Задана плотность распределения системы случайных величин Х и Y.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №22 - открытая онлайн библиотека

Выяснить являются ли независимыми случайные величины Х и Y.

Для решения этой задачи преобразуем плотность распределения:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №23 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, плотность распределения удалось представить в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая – только от у. Т.е. случайные величины Х и Y независимы. Разумеется, они также будут и некоррелированы.

Линейная регрессия.

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y), где X и Y – зависимые случайные величины.

Представим приближенно одну случайную величину как функцию другой. Точное соответствие невозможно. Будем считать, что эта функция линейная.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №24 - открытая онлайн библиотека

Для определения этой функции остается только найти постоянные величины a и b.

Определение. Функция g(X) называется наилучшим приближением случайной величины Y в смысле метода наименьших квадратов, если математическое ожидание

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №25 - открытая онлайн библиотека принимает наименьшее возможное значение. Также функция g(x) называется среднеквадратической регрессиейY на X.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №26 - открытая онлайн библиотека Теорема. Линейная средняя квадратическая регрессия Y на Х вычисляется по формуле:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №27 - открытая онлайн библиотека

в этой формуле mx=M(X), my=M(Y), Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №28 - открытая онлайн библиотека коэффициент корреляции величин Х и Y.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №29 - открытая онлайн библиотека

Величина Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №30 - открытая онлайн библиотека называется коэффициентом регрессииY на Х.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №31 - открытая онлайн библиотека Прямая, уравнение которой

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №32 - открытая онлайн библиотека ,

называется прямой сренеквадратической регрессииY на Х.

Величина Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №33 - открытая онлайн библиотека называется остаточной дисперсиейслучайной величины Y относительно случайной величины Х. Эта величина характеризует величину ошибки, образующейся при замене случайной величины Y линейной функцией g(X)=aХ + b.

Видно, что если r=±1, то остаточная дисперсия равна нулю, и, следовательно, ошибка равна нулю и случайная величина Y точно представляется линейной функцией от случайной величины Х.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №34 - открытая онлайн библиотека Прямая среднеквадратичной регрессии Х на Y определяется аналогично по формуле:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №35 - открытая онлайн библиотека

Прямые среднеквадратичной регрессии пересекаются в точке (тх, ту), которую называют центром совместного распределенияслучайных величин Х и Y.

Линейная корреляция.

Если две случайные величины Х и Y имеют в отношении друг друга линейные функции регрессии, то говорят, что величины Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

Теорема. Если двумерная случайная величина (X, Y) распределена нормально, то Х и Y связаны линейной корреляционной зависимостью.

Закон больших чисел.

Неравенство Чебышева.

(Чебышев Пафнутий Львович (1821 – 1824) – русский математик)

На практике сложно сказать какое конкретное значение примет случайная величина, однако, при воздействии большого числа различных факторов поведение большого числа случайных величин практически утрачивает случайный характер и становится закономерным.

Этот факт очень важен на практике, т.к. позволяет предвидеть результат опыта при воздействии большого числа случайных факторов.

Однако, это возможно только при выполнении некоторых условий, которые определяются законом больших чисел. К законам больших чисел относятся теоремы Чебышева (наиболее общий случай) и теорема Бернулли (простейший случай), которые будут рассмотрены далее.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х (хотя все сказанное ниже будет справедливо и для непрерывных случайных величин), заданную таблицей распределения:

X x1 x2 xn
p p1 p2 pn

Требуется определить вероятность того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания будет не больше, чем заданное число e.

Теорема. (Неравенство Чебышева) Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа e, не меньше чем Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №36 - открытая онлайн библиотека .

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №37 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №38 - открытая онлайн библиотека

Доказательство этой теоремы приводить не будем, оно имеется в литературе.

Теорема Чебышева.

Теорема. Если Х1, Х2, …, Хn- попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышаю постоянного числа С), то, как бы мало не было положительное число e, вероятность неравенства

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №39 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №40 - открытая онлайн библиотека

будет сколь угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Т.е. можно записать:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №41 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №42 - открытая онлайн библиотека

ЛЕКЦИЯ 6.

Часто бывает, что случайные величины имеют одно и то же математическое ожидание. В этом случае теорема Чебышева несколько упрощается:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №43 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №44 - открытая онлайн библиотека

Дробь, входящая в записанное выше выражение есть не что иное как среднее арифметическое возможных значений случайной величины.

Теорема утверждает, что хотя каждое отдельное значение случайной величины может достаточно сильно отличаться от своего математического ожидания, но среднее арифметическое этих значений будет неограниченно приближаться к среднему арифметическому математических ожиданий.

Отклоняясь от математического ожидания как в положительную так и в отрицательную сторону, от своего математического ожидания, в среднем арифметическом отклонения взаимно сокращаются.

Таким образом, величина среднего арифметического значений случайной величины уже теряет характер случайности.

Теорема Бернулли.

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно р.

Возможно определить примерно относительную частоту появления события А.

Теорема. Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянно, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний р достаточно велико.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №45 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №46 - открытая онлайн библиотека

Здесь т – число появлений события А. Из всего сказанного выше не следует, что с увеличением число испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р, т.е. Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №47 - открытая онлайн библиотека . В теореме имеется в виду только вероятность приближения относительной частоты к вероятности появления события А в каждом испытании.

В случае, если вероятности появления события А в каждом опыте различны, то справедлива следующая теорема, известная как теорема Пуассона.

Теорема. Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в каждом опыте равна рi, то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей рi.

Предельные теоремы.

Как уже говорилось, при достаточно большом количестве испытаний, поставленных в одинаковых условиях, характеристики случайных событий и случайных величин становятся почти неслучайными. Это позволяет использовать результаты наблюдений случайных событий для предсказания исхода того или иного опыта.

Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают соответствие между теоретическими и экспериментальными характеристиками случайных величин при большом количестве испытаний.

В рассмотренном выше законе больших чисел нечего не говорилось о законе распределения случайных величин.

Поставим задачу нахождения предельного закона распределения суммы

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №48 - открытая онлайн библиотека

когда число слагаемых п неограниченно возрастает. Эту задачу решает Центральная предельная теорема Ляпунова, которая была сформулирована выше.

В зависимости от условий распределения случайных величин Xi, образующих сумму, возможны различные формулировки центральной предельной теоремы.

Допустим, что случайные величины Xi взаимно независимы и одинаково распределены.

Теорема. Если случайные величины Xi взаимно независимы и имеют один и тот же закон распределения с математическим ожиданием т и дисперсией s2, причем существует третий абсолютный момент n3, то при неограниченном увеличении числа испытаний п закон распределения суммы Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №48 - открытая онлайн библиотека неограниченно приближается к нормальному.

При доказательстве этой теоремы Ляпуновым использовались так называемые характеристические функции.

Определение. Характеристической функциейслучайной величины Х называется функция

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №50 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №51 - открытая онлайн библиотека

эта функция представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №52 - открытая онлайн библиотека , являющейся функцией от случайной величины Х. При решении многих задач удобнее пользоваться характеристическими функциями, а не законами распределения.

Зная закон распределения, можно найти характеристическую функцию по формуле (для непрерывных случайных величин):

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №53 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №54 - открытая онлайн библиотека

Как видим, данная формула представляет собой не что иное, как преобразование Фурье для функции плотности распределения. Очевидно, что с помощью обратного преобразования Фурье можно по характеристической функции найти закон распределения.

Введение характеристических функций позволяет упростить операции с числовыми характеристиками случайных величин.

В случае нормального распределения характеристическая функция имеет вид:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №55 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №56 - открытая онлайн библиотека

Сформулируем некоторые свойства характеристических функций:

1) Если случайные величины Х и Y связаны соотношением

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №57 - открытая онлайн библиотека

где а – неслучайный множитель, то

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №58 - открытая онлайн библиотека

2) Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых.

Случайные величины Xi, рассмотренные в центральной предельной теореме, могут обладать произвольными распределениями вероятностей.

Если все эти случайные величины одинаково распределены, дискретны и принимают только два возможных значения 0 или 1, то получается простейший случай центральной предельной теоремы, известный как теорема Муавра – Лапласа.

Теорема. (Теорема Муавра – Лапласа) Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р, то для любого интервала (a, b) справедливо соотношение:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №59 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №60 - открытая онлайн библиотека

где Y – число появлений события А в п опытах, q = 1 – p, Ф(х) – функция Лапласа, Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №61 - открытая онлайн библиотека - нормированная функция Лапласа .

Теорема Муавра – Лапласа описывает поведение биноминального распределения при больших значениях п.

Данная теорема позволяет существенно упростить вычисление по формуле биноминального распределения.

Расчет вероятности попадания значения случайной величины в заданный интервал Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №62 - открытая онлайн библиотека при больших значениях п крайне затруднителен. Гораздо проще воспользоваться формулой:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №63 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №64 - открытая онлайн библиотека

Теорема Муавра – Лапласа очень широко применяется при решении практических задач.

Пример. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна 0,3. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что в 10000 испытаниях отклонение относительной частоты появления события А от его вероятности не превзойдет по абсолютной величине 0,01.

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №65 - открытая онлайн библиотека В соответствии с неравенством Чебышева вероятность того, что отклонение случайной величины от ее математического ожидания будет меньше некоторого числа e, ограничена в соответствии с неравенством Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №66 - открытая онлайн библиотека .

Надо определить математическое ожидание и дисперсию числа появления события А при одном опыте. Для события А случайная величина может принимать одно из двух значений: 1- событие появилось, 0- событие не появилось. При этом вероятность значения 1 равна вероятности р=0,3, а вероятность значения 0- равна вероятности ненаступления события А

q=1 – p =0,7.

По определению математического ожидания имеем:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №67 - открытая онлайн библиотека

Дисперсия: Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №68 - открытая онлайн библиотека

В случае п независимых испытаний получаем Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №69 - открытая онлайн библиотека Эти формулы уже упоминались выше.

В нашем случае получаем: Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №70 - открытая онлайн библиотека Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №71 - открытая онлайн библиотека

Вероятность отклонения относительной частоты появления события А в п испытаниях от вероятности на величину, не превышающую e=0,01 равна:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №72 - открытая онлайн библиотека

Выражение полученное в результате этих простых преобразований представляет собой не что иное, как вероятность отклонения числа т появления события А от математического ожидания на величину не большую, чем d=100.

В соответствии с неравенством Чебышева эта вероятность будет не меньше, чем величина Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №73 - открытая онлайн библиотека

Пример. Сколько следует проверить деталей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,96, можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты годных деталей от вероятности детали быть годной, равной 0,98, не превысит 0,02.

Условие задачи фактически означает, что выполняется неравенство:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №74 - открытая онлайн библиотека

Здесь п- число годных деталей, т- число проверенных деталей. Для применения неравенства Чебышева преобразуем полученное выражение:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №75 - открытая онлайн библиотека

После домножения выражения, стоящего в скобках, на т получаем вероятность отклонения по модулю количества годных деталей от своего математического ожидания, следовательно, можно применить неравенство Чебышева, т.е. эта вероятность должна быть не меньше, чем величина Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №76 - открытая онлайн библиотека , а по условию задачи еще и не меньше, чем 0,96.

Таким образом, получаем неравенство Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №77 - открытая онлайн библиотека . Как уже говорилось в предыдущей задаче, дисперсия может быть найдена по формуле Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №78 - открытая онлайн библиотека .

Итого, получаем: Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №79 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №80 - открытая онлайн библиотека

Т.е. для выполнения требуемых условий необходимо не менее 1225 деталей.

Пример. Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 3000 кВт/час, а дисперсия составляет 2500. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте будет от 2500 до 3500 кВт/час.

Требуется найти вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №81 - открытая онлайн библиотека

Крайние значения интервала отклоняются от математического ожидания на одну и ту же величину, а именно – на 500. Тогда можно записать с учетом неравенства Чебышева:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №82 - открытая онлайн библиотека

Отсюда получаем:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №83 - открытая онлайн библиотека

Т.е. искомая вероятность будет не меньше, чем 0,99.

Пример. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 3. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превосходит 0,3.

Требуется найти вероятность

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №84 - открытая онлайн библиотека

Неравенство Чебышева в случае суммы случайных величин имеет вид:

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №85 - открытая онлайн библиотека

Вероятность того, что деталь находится только в одном ящике, равна 4 страница - №86 - открытая онлайн библиотека