Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем

1.Определить число степеней свободы системы и выбрать наиболее удобные обобщенные координаты.

2. Вычислить кинетическую энергию системы в ее абсолютном движении и выразить эту энергию через обобщенные координаты Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №1 - открытая онлайн библиотека и обобщенные скорости Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №2 - открытая онлайн библиотека .

Напомним формулы кинетических энергий в абсолютном движении:

· для материальной точки Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №3 - открытая онлайн библиотека ;

· длясистемы материальных точек Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №4 - открытая онлайн библиотека ;

· длятвердого тела:

при поступательном движении Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №3 - открытая онлайн библиотека ;

– при вращении вокруг неподвижной оси l Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №6 - открытая онлайн библиотека ;

– при плоскопараллельном движении

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №7 - открытая онлайн библиотека ;

– при вращении вокруг неподвижной точки Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №8 - открытая онлайн библиотека ;

– в общем случае движения твердого тела

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №9 - открытая онлайн библиотека .

3. Вычислить производные от кинетической энергии, входящие в левую часть уравнений Лагранжа.

4. Определить обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам (так как каждой обобщенной координате соответствует обобщенная сила, то число обобщенных сил механической системы равно числу обобщенных координат, причем размерность каждой из обобщенных сил соответствует размерности соответствующей обобщенной координаты).

5. Подставить все вычисленные величины в уравнения Лагранжа.

Пример 2.14.Механическая система (рис. 2.13) состоит из однородного круглого цилиндра 1 массой m1 и радиусом r, однородного стержня 2 длиной l и массой m2, к которому в точках А и В шарнирно прикреплены ползуны 3 и 4 массами m3и m4, а также двух пружин с коэффициентами жесткости С1 и С2. Цилиндр без скольжения катится по горизонтальной плоскости. К нему приложена пара сил с моментом М1(t).

Пренебрегая сопротивлением качению цилиндра 1, трением в шарнирах и направляющих, а также массой пружин, составить дифференциальные уравнения движения системы.

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №10 - открытая онлайн библиотека

Рис. 2.13

Решение.Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выберем перемещение q1= s центра масс С цилиндра 1 и угол q2 = jповорота стержня 2 (против хода часовой стрелки). Полагаем, что при s = 0 иj = 0 пружины не деформированы.

Уравнения Лагранжа второго рода для данной системы имеют вид

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №11 - открытая онлайн библиотека . (2.27)

Кинетическая энергия системы складывается из кинетических энергий: цилиндра 1 и стержня 2, совершающих плоское движение; ползунов 3 и 4, совершающих поступательное движение:
T = Т1+ Т2 + Т3 + Т4 .

Кинетическая энергия цилиндра 1 Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №12 - открытая онлайн библиотека . Так как Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №13 - открытая онлайн библиотека .

Кинетическая энергия стержня 2 Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №14 - открытая онлайн библиотека . Ско-рость центра масс стержня Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №15 - открытая онлайн библиотека , где Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №16 - открытая онлайн библиотека – мгно-

венный центр скоростей (МЦС) стержня 2. Принимая во внимание, что Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №17 - открытая онлайн библиотека получаем Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №18 - открытая онлайн библиотека .

Ползуны движутся поступательно и, следовательно,

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №19 - открытая онлайн библиотека ;

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №20 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, кинетическая энергия системы, выраженная через обобщенные координаты и обобщенные скорости, равна

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №21 - открытая онлайн библиотека .

Вычисляем производные от кинетической энергии системы:

– по q1= s Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №22 - открытая онлайн библиотека

– по q2 = j Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №23 - открытая онлайн библиотека ;

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №24 - открытая онлайн библиотека ;

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №25 - открытая онлайн библиотека .

Для нахождения обобщенных сил Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №26 - открытая онлайн библиотека и Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №27 - открытая онлайн библиотека , соответствующих обобщенным координатам, воспользуемся выражением виртуальной работы сил (2.15):

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №28 - открытая онлайн библиотека . (2.15а)

Эта формула позволяет вычислять обобщенные силы последовательно, учитывая, что обобщенные координаты, а значит, и их вариации не зависят друг от друга. Поэтому системе можно сообщить такое виртуальное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не варьируются.

1. При Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №29 - открытая онлайн библиотека Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №30 - открытая онлайн библиотека ,

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №31 - открытая онлайн библиотека , (2.28)

где Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №32 - открытая онлайн библиотека , а выражение в квадратных скобках в (2.28) перед вариацией Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №33 - открытая онлайн библиотека есть обобщенная сила

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №34 - открытая онлайн библиотека . (2.29)

2. При Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №35 - открытая онлайн библиотека Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №36 - открытая онлайн библиотека ,

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №37 - открытая онлайн библиотека (2.30)

где Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №38 - открытая онлайн библиотека

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №39 - открытая онлайн библиотека Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №40 - открытая онлайн библиотека

Выражение в квадратных скобках в уравнении виртуальной работы (2.30) перед вариацией Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №41 - открытая онлайн библиотека есть обобщенная сила

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №42 - открытая онлайн библиотека .(2.31)

Подставляя значения производных от кинетической энергии и выражения для обобщенных сил (2.29) и (2.31) в (2.27), получаем дифференциальные уравнения движения системы:

по q1= sÞ Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №43 - открытая онлайн библиотека ;

по q2 = jÞ Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №44 - открытая онлайн библиотека

Последовательность действий при использовании уравнений Лагранжа II рода для решения задач о движении голономных систем - №45 - открытая онлайн библиотека .