Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Активный раздаточный материал

Математика 1 ФОЕНП

Кредит 3 1-ый семестр

Лекция №14 «Интегрирование рациональных функций» 2013-2014 уч. год

Краткое содержание лекции

Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

Здесь мы рассмотрим метод нахождения интегралов вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №1 - открытая онлайн библиотека и Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №2 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №3 - открытая онлайн библиотека . Выносим из квадратного трехчлена Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №4 - открытая онлайн библиотека коэффициент Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №5 - открытая онлайн библиотека и выделяем в нем полный квадрат.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №6 - открытая онлайн библиотека Делаем в интеграле замену переменной Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №7 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №8 - открытая онлайн библиотека , в результате он приводится к виду Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №9 - открытая онлайн библиотека или Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №10 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №11 - открытая онлайн библиотека Записываем интеграл в виде суммы двух интегралов в соответствии с двумя слагаемыми числителя. В первом интеграле делаем замену переменной Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №12 - открытая онлайн библиотека . В результате оба слагаемых - табличные интегралы.

Интегрирование рациональных функций

Самый важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, представляют рациональные функции: Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №13 - открытая онлайн библиотека , где Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №14 - открытая онлайн библиотека - многочлены.

Если рациональная дробь неправильная, то с помощью деления Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №15 - открытая онлайн библиотека на Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №16 - открытая онлайн библиотека можно выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь. Например:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №17 - открытая онлайн библиотека

Далее рассматриваем интегрирование только правильных рациональных дробей (т.е. дробей у которых степень многочлена в числителе ниже степени многочлена в знаменателе).

Рассмотрим вопрос о разложении рациональных дробей на простые дроби. Из алгебры известно, что всякий многочлен с вещественными коэффициентами степени выше второй разлагается единственным образом на линейные и квадратичные множители с вещественными коэффициентами.

Пусть многочлен Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №18 - открытая онлайн библиотека разложен на множители в следующем виде:

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №19 - открытая онлайн библиотека

Например. 1) Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №20 - открытая онлайн библиотека 2) Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №21 - открытая онлайн библиотека

3) Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №22 - открытая онлайн библиотека

Интегрирование функций вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №23 - открытая онлайн библиотека , где Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №24 - открытая онлайн библиотека - рациональная функция относительно аргументов

С помощью выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и замены переменной Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №25 - открытая онлайн библиотека интеграл Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №26 - открытая онлайн библиотека приводится к одному из следующих трех видов (Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №27 - открытая онлайн библиотека -рациональная функция);

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №3 - открытая онлайн библиотека . Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №29 - открытая онлайн библиотека . Здесь с помощью замены переменной Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №30 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №31 - открытая онлайн библиотека = Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №32 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №33 - открытая онлайн библиотека этот интеграл преобразуется к виду Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №34 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №6 - открытая онлайн библиотека . Интегралы вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №36 - открытая онлайн библиотека находятся с помощью замены Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №37 - открытая онлайн библиотека , при этом Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №38 - открытая онлайн библиотека , тогда Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №39 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №11 - открытая онлайн библиотека . Интегралы вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №41 - открытая онлайн библиотека находятся с помощью замены Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №42 - открытая онлайн библиотека , при этом

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №43 - открытая онлайн библиотека .

Для специальных видов рациональной функции Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №44 - открытая онлайн библиотека иногда проще использовать другие методы нахождения интегралов. Рассмотрим два из них.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №45 - открытая онлайн библиотека . Интегралы вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №46 - открытая онлайн библиотека находятся с помощью замены переменной Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №47 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №48 - открытая онлайн библиотека .

Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №49 - открытая онлайн библиотека . Интеграл Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №50 - открытая онлайн библиотека , где Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №51 - открытая онлайн библиотека - многочлен Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №52 - открытая онлайн библиотека -ой степени можно записать в виде Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №53 - открытая онлайн библиотека где Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №54 - открытая онлайн библиотека - некоторый многочлен степени Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №55 - открытая онлайн библиотека , Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №56 - открытая онлайн библиотека -число. Коэффициенты Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №54 - открытая онлайн библиотека и Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №56 - открытая онлайн библиотека находятся методом неопределенных коэффициентов после дифференцирования обеих частей записанного равенства.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

В этом пункте мы рассмотрим нахождение интегралов вида Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №59 - открытая онлайн библиотека ,

где Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №60 - открытая онлайн библиотека - рациональная функция относительно Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №61 - открытая онлайн библиотека .

Проверим, что такие интегралы с помощью универсальной замены переменной Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №62 - открытая онлайн библиотека

всегда сводятся к интегралам от рациональных функций. Так как Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №63 - открытая онлайн библиотека , то Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №64 - открытая онлайн библиотека .

В результате получаем, что Интегрирование некоторых тригонометрических функций - №65 - открытая онлайн библиотека .

Задание на СРС

1. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен.(конспект) [1,3,4].

2. Решение задач по теме [6; 2 - стр.340 № 1-6 ].( Срок сдачи -14 неделя)

Задание на СРСП

1. Смешанные задачи на интегрирование [2. ИДЗ-8.1,2]

Контрольные вопросы:

1. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен.

2. Интегрирование рациональных функций.

3. Интегрирование иррациональных функций.

4.Какая подстановка называется универсальной тригонометрической?

Глоссарий

На русском языке На казахском языке На английском языке
  Интегрирование Рациональная функция Иррациональная функция Интегралдау Рационал функциясы Иррациоанал ф-сы  

Список литературы

Основная:

1. К.Кабдыкайыр. Сборник задач по Высшей математике. Учебное пособие. Алматы: «Дәуір», 2007. -408стр.

2. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для втузов.- М.: Оникс, 2007, 2006

3. Байбазаров М.Б., Божанов Е.Т., Уразмагамбетова Э.У .Лекционный курс по математике. Учебное пособие, часть 1. Алматы, КазГАСА, 2003.

4. Индивидуальные задания по высшей математике под общей редакцией доктора физико-математических наук проф. А.П. Рябушко. Учебное пособие. II-часть.Минск, «Высшая школа», 2002г.

Дополнительная:

5. Сыдыкова Д.К. Математика 1. Методическое руководство к выполнению заданий для СРС. Алматы: КазГАСА, 2008.

6. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Высшая математика для экономистов. Учебник. Изд. Объединение «ЮНИТИ»,2006. - 479стр.