Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е. решения каждой из них является решением другой, или если обе системы несовместны.

Элементарные преобразования системы уравнений:

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (деление) обеих частей уравнения на число, отличное от нуля;

3) умножение (деление) любого уравнения на число (не равное нулю) и прибавление затем его к другому уравнению;

4) исключение из системы уравнений вида Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №1 - открытая онлайн библиотека ;

Все элементарные преобразования обратимы и линейная система, полученная при элементарном преобразовании, эквивалентна исходной. На этом основан метод решения системы, называемый методом исключениянеизвестныхили методом Гаусса. Он заключается в том, что на первом шаге исключается, скажем, переменная Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №2 - открытая онлайн библиотека из всех уравнений, кроме одного (обычно первого), затем Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №3 - открытая онлайн библиотека из остальных уравнений кроме одного (обычно второго) и т.д. (прямой ход). Этот процесс закончится тем, что либо одна из переменных получит вполне определенное значение, либо ее можно выразить через оставшиеся переменные, которые называются свободными переменными. Свободным переменным могут принимать произвольные значения. Затем обратным ходом вычисляются в обратном порядке значения всех переменных, называемых базисными. Если при прямом ходе возникнет равенство Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №4 - открытая онлайн библиотека , то система несовместна.

Пример. Решить методом Гаусса систему

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №5 - открытая онлайн библиотека

◄ Так как элементарные преобразования затрагивают только коэффициенты системы и свободные члены, то будем преобразовывать лишь строки расширенной матрицы системы:

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №6 - открытая онлайн библиотека .

Вычитая из второй строчки первую, умноженную на 2, и из третьей первую, получим

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №7 - открытая онлайн библиотека .

Умножив (виртуально) вторую строчку на (- 2) и затем прибавив ее к третьей, а также умножив вторую строчку на (- 1) будем иметь:

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №8 - открытая онлайн библиотека .

Убираем из системы последнюю строку и переставляем местами второй и третий столбец (вместе с обозначениями неизвестных, при которых эти столбцы коэффициентов находятся):

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №9 - открытая онлайн библиотека

Переносим направо за вертикальную черту (за знаки равенств) третий, четвертый и пятый столбец с соответствующими обозначениями неизвестных (меняя знаки коэффициентов на противоположные):

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №10 - открытая онлайн библиотека

Прямой ход закончен. Базисными переменными в решении будут Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №11 - открытая онлайн библиотека и Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №12 - открытая онлайн библиотека , а свободными Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №13 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №14 - открытая онлайн библиотека и Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №15 - открытая онлайн библиотека .

Начинаем обратный ход. Умножаем последнюю строчку на (- 3) и прибавляем к первой:

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №16 - открытая онлайн библиотека

Поделив первую строчку на 2, получаем окончательно:

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №17 - открытая онлайн библиотека

Слева от вертикальной линии в результате реализации прямого и обратного хода метода Гаусса получена единичная матрица. Записываем общее решение системы:

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №18 - открытая онлайн библиотека

Вводя для свободных переменных обозначения Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №19 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №20 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №21 - открытая онлайн библиотека , общее решение запишем в виде:

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №22 - открытая онлайн библиотека

где Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №23 - открытая онлайн библиотека . Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №24 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №25 - открытая онлайн библиотека - любые числа.

Частное решение системы получают при придании конкретных значений свободным переменным. Положим, например, в данном случае Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №26 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №27 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №28 - открытая онлайн библиотека . Тогда будем иметь следующее частное решение: Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №29 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №30 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №31 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №32 - открытая онлайн библиотека , Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Две системы называются эквивалентными (равносильными), если их множества решений совпадают, т.е - №33 - открытая онлайн библиотека . ►