Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування

Означення 1. Дріб називається раціональним, якщо його чи­сельник та знаменник є многочленами, тобто дріб має вигляд

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №1 - открытая онлайн библиотека

де аі та bk - коефіцієнти многочленів, і = 0, 1, ..., n;

k = 0, 1, 2, ..., m.

Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщо Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №2 - открытая онлайн библиотека .

Якщо Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №3 - открытая онлайн библиотека дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержа­ти заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного ра­ціонального дробу, тобто

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №4 - открытая онлайн библиотека

Означення 2. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називають правильні дроби вигляду:

I. Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №5 - открытая онлайн библиотека II. Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №6 - открытая онлайн библиотека Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №7 - открытая онлайн библиотека

III. Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №8 - открытая онлайн библиотека

IV. Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №9 - открытая онлайн библиотека

Умова Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №10 - открытая онлайн библиотека означає, що квадратний тричлен Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №11 - открытая онлайн библиотека не має дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №12 - открытая онлайн библиотека .

Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та ІІ-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:

І. Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №13 - открытая онлайн библиотека

ІІ. Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №14 - открытая онлайн библиотека

При інтегруванні найпростішого дробу ІІІ-го типу треба спочат­ку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.

ІІІ. Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №15 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №16 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №17 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №18 - открытая онлайн библиотека

Повертаючись до змінної х, та враховуючи, що Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №19 - открытая онлайн библиотека або Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №20 - открытая онлайн библиотека одержимо:

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №21 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №22 - открытая онлайн библиотека

Інтеграл від найпростішого дробу типу IV шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла під найпростішого дробу типу III.

Приклад. Обчислити інтеграл.

а) Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №23 - открытая онлайн библиотека б) Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №24 - открытая онлайн библиотека в) Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №25 - открытая онлайн библиотека

Розв'язок:

а) Оскільки степінь чисельника менший за степінь знаменника, то підінтегральна функція – правильний дріб. Знаменник

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №26 - открытая онлайн библиотека можна розкласти на множники Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №27 - открытая онлайн библиотека таким чином дріб розкладається на суму доданків першого типу (І):

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №28 - открытая онлайн библиотека

Невідомі коефіцієнти Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №29 - открытая онлайн библиотека знаходимо методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину отриманої тільки що нерівності зводимо до спільного знаменника:

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №30 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №31 - открытая онлайн библиотека

Прирівнюємо чисельники для знаходження невідомих коефіцієнтів

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №32 - открытая онлайн библиотека

Ця рівність виконується коли коефіцієнти при однакових степенях Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №33 - открытая онлайн библиотека рівні між собою. З цієї у мови отримуємо систему лінійних рівнянь для визначення невідомих Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №29 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №35 - открытая онлайн библиотека

З цієї системи знаходимо невідомі

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №36 - открытая онлайн библиотека

Наша підінтегральна функція набуде вигляду

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №37 - открытая онлайн библиотека

Інтегруючи останню рівність отримаємо

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №38 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №39 - открытая онлайн библиотека

б) Підінтегральна функція

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №40 - открытая онлайн библиотека

є правильним дробом, знаменник якого має дійсні корені. Такий дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го та ІІ-го типів

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №41 - открытая онлайн библиотека

Визначимо невідомі коефіцієнти Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №42 - открытая онлайн библиотека , для цього праву частину зведемо до спільного знаменника.

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №43 - открытая онлайн библиотека

Розкриваємо дужки і прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях в чисельниках. Отримаємо наступну систему лінійних рівнянь

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №44 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №45 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №46 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №47 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №48 - открытая онлайн библиотека

Є інший спосіб отримання системи рівнянь для визначення невідомих. Чисельники справа і зліва повинні бути рівні для всіх Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №49 - открытая онлайн библиотека . Ця особливість дещо спрощує розв'язування системи рівнянь. Як правило, за точки Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №49 - открытая онлайн библиотека в першу чергу беруть корені рівняння та 0. В нашому випаду це були б значення Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №51 - открытая онлайн библиотека . Нуль вибирають за рахунок простоти обчислень.

Розв'язавши отриману вище систему рівнянь, отримаємо наступні значення невідомих:

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №52 - открытая онлайн библиотека

Інтегруємо підінтегральну функцію, врахувавши знайдені константи

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №53 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №54 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №55 - открытая онлайн библиотека

б) Підінтегральна функція є правильним дробом. Знаменник містить квадратний тричлен множники. Даний дріб за правилами розкладається на суму дробів І-го та ІІІ-го типів:

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №56 - открытая онлайн библиотека

Звівши до спільного знаменника, матимемо:

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №57 - открытая онлайн библиотека

Можемо прирівняти коефіцієнти при однакових степенях, але поступимо інакше, щоб навчитися використовувати іншу методику. Тож підставимо корінь Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №58 - открытая онлайн библиотека в ліву і праву частину рівності, отримаємо

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №59 - открытая онлайн библиотека

Щоб позбутися невідомої Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №60 - открытая онлайн библиотека підставимо Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №61 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №62 - открытая онлайн библиотека

Для знаходження невідомої Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №63 - открытая онлайн библиотека випишемо постійні при Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №49 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №65 - открытая онлайн библиотека

В такий спосіб, не виписуючи систем лінійних рівнянь і не розв'язуючи їх, можна досить швидко знайти невідомі.

Підставивши знайдені значення, отримаємо інтеграл

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №66 - открытая онлайн библиотека

Перший доданок інтегруємо

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №67 - открытая онлайн библиотека

а до другого застосовуємо заміну

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №68 - открытая онлайн библиотека

та зводимо до суми двох

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №69 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №70 - открытая онлайн библиотека

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №71 - открытая онлайн библиотека

Підсумувавши отримані інтеграли, остаточно отримаємо розв'язок:

Тема 1, 2. Раціональні дроби та їх інтегрування - №72 - открытая онлайн библиотека