Формула (4) и есть формула трапеций

ВВЕДЕНИЕ

Цель данной курсовой работы – изучение методов приближённого интегрирования. Для некоторых подынтегральных функций Формула (4) и есть формула трапеций - №1 - открытая онлайн библиотека интеграл можно вычислить аналитически или найти в справочниках. Однако в общем случае первообразная Формула (4) и есть формула трапеций - №2 - открытая онлайн библиотека может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов. Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются, так называемые, "классические" методы численного интегрирования: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией Формула (4) и есть формула трапеций - №3 - открытая онлайн библиотека ). Хотя эти методы обычно предпочтительней в случае малых размерностей, они практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для их вычисления используются другие методы, однако в этой работе они рассмотрены не будут.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

I.Определение интеграла и его геометрический смысл.

В начале узнаем, что такое определённый интеграл. Возможны два различных подхода к определению определённого интеграла.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1: приращение F(b)-F(a) любой из преобразованных функций F(x)+c при изменении аргумента от x=a до x=b называют определённым интегралом от a до b функции f и обозначается Формула (4) и есть формула трапеций - №4 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №5 - открытая онлайн библиотека .

Причём функция F является первообразной для функции f на некотором промежутке D, а числа а и b принадлежат этому промежутку. Это можно записать следующим образом:

Формула (4) и есть формула трапеций - №6 - открытая онлайн библиотека (1)

это формула Ньютона-Лейбница.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2:

Формула (4) и есть формула трапеций - №7 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №8 - открытая онлайн библиотека Если при любой последовательности разбиений отрезка [a;b] таких, что δ=maxΔxi→0 (n→∞) и при любом выборе точек Формула (4) и есть формула трапеций - №9 - открытая онлайн библиотека интегральная сумма σk= Формула (4) и есть формула трапеций - №10 - открытая онлайн библиотека f(εi) Δxiстремится к одному и тому же конечному пределу А, то это число А и есть определённый интеграл, т.е. Формула (4) и есть формула трапеций - №11 - открытая онлайн библиотека limn→∞σk= limδ→0 Формула (4) и есть формула трапеций - №10 - открытая онлайн библиотека f (εi) Δxi=A(2).

Где Δхi=xi-xi-1(i=1,2,…,n) ε=maxΔxi– начало разбиения Формула (4) и есть формула трапеций - №13 - открытая онлайн библиотека произвольная точка из отрезка[xi-1;xi]
сумма всех произведений f(εi)Δxi(i=1,…,n). Простыми словами, определенный интеграл есть предел интегральной суммы, число членов которой неограниченно возрастает, а каждое слагаемое стремится к нулю.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ:

Формула (4) и есть формула трапеций - №14 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №15 - открытая онлайн библиотека Всякая непрерывная на отрезке [a,b] функция f интегрируема на отрезке [a,b], функция f неотрицательна, но определённый интеграл Формула (4) и есть формула трапеций - №4 - открытая онлайн библиотека численно равен S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f, осью абсцисс и прямыми x=a и x=b, S= Формула (4) и есть формула трапеций - №17 - открытая онлайн библиотека f(x)dx.

II.Приближённые методы вычисления.

Как мы уже отметили, если функция f непрерывна на промежутке, то на этом промежутке существует функция F такая, что F’=f, то есть существует первообразная для функции f, но не всякая элементарная функция f имеет элементарную первообразную F. Объясним понятие элементарной функции.

Функции: степенная, показательная, тригонометрическая, логарифмическая, обратные тригонометрическим называются основными элементарными функциями. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана с помощью формулы, содержащей лишь конечное число арифметических операций и суперпозиций основных элементарных.

Например следующие интегралы: ∫e-xdx; ∫ Формула (4) и есть формула трапеций - №18 - открытая онлайн библиотека ; ∫dx/ln│x│; ∫(ex/x)dx; ∫sinx2dx; ∫ln│x│sinxdx существуют, но не выражаются в конечном виде через элементарные функции, то есть относятся к числу интегралов, «не берущихся» в элементарных функциях.

Бывает, что на практике сталкиваются с вычислением интегралов от функций, которые заданы табличными и графическими способами, или интегралы от функций, первообразные которых выражаются через элементарные функции очень сложно, что не удобно, долго и не рационально. В этих случаях вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница (1) сводит вычисление определённого интеграла от какой-либо функции к нахождению её первообразной. Значит, если первообразная не элементарна, надо вычислить определённый интеграл как-то по другому, поэтому прибегают к различным методам приближённого интегрирования.

В основе приближённых методов интегрирования лежит геометрический смысл определённого интеграла, который рассмотрен выше.

Формул приближённого интегрирования существует много. В данной курсовой работе будет рассмотрено три метода приближённого интегрирования: метод трапеций, метод прямоугольников и метод Симпсона.

Формула прямоугольников

Теперь рассмотрим первый вид приближённого вычисления:
требуется вычислить определённый интеграл: Формула (4) и есть формула трапеций - №4 - открытая онлайн библиотека .

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y=f(x). Разделим отрезок [a,b], аналогично как в формуле трапеций: точками a=x0,x1,x2,…,xn=bна nравных частей длины Δх, где Δх=(b-a)/n.

Формула (4) и есть формула трапеций - №20 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №21 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №22 - открытая онлайн библиотека Обозначим через y0,y1,y2,…,yn-1,ynзначение функции f(x) в точках x0, x1, x2…,xn, то есть, если записать в наглядной формуле:

Y0=f(x0), y1=f(x1), y2=f(x2)…yn,=f(xn).

В данном способе подынтегральную функцию заменяем функцией, которая имеет ступенчатый вид (на рис. выделена).

Составим суммы: y0Δx+ y1Δx1+ y2Δx2…+yn-1Δx; Y1Δx+ y2Δx+…+ynΔx

Каждое слагаемое этих сумм выражает площадь, полученных прямоугольников с основанием Δх, которое является шириной прямоугольника, и длиной выраженной через yi: Sпр=a*b=yiΔx.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f(x) на отрезке [a,b], и равна площади ступенчатых фигур, а значит приближённо выражает интеграл. Вынесем Δx=(b-a)/n из каждой суммы, получим:

Формула (4) и есть формула трапеций - №17 - открытая онлайн библиотека f(x)dx≈Δx(y0+y1+…+yn-1);

Формула (4) и есть формула трапеций - №17 - открытая онлайн библиотека f(x)dx≈Δx(y1+y2+…+yn).

Выразив x, получим окончательно:

Формула (4) и есть формула трапеций - №17 - открытая онлайн библиотека f(x)dx≈((b-a)/n)(y0+y1+…+yn-1);(3)

Формула (4) и есть формула трапеций - №17 - открытая онлайн библиотека f(x)dx≈((b-a)/n)(y1+y2+…+yn);(3*)

Это и есть формулы прямоугольников. Их две, так как можно использовать два способа замены подынтегральной функции. Если f(x)- положительная и возрастающая функция, то формула (3) выражает Sфигуры, расположенной под графиком, составленной из входящих прямоугольников, а формула (3*)- площадь ступенчатой фигуры, расположенной под графиком функции составленной из выходящих треугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интегралов по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n (то есть чем меньше шаг деления) Формула (4) и есть формула трапеций - №27 - открытая онлайн библиотека . Для вычисления погрешности этого метода используется формула:Pnp= Формула (4) и есть формула трапеций - №28 - открытая онлайн библиотека , где Формула (4) и есть формула трапеций - №29 - открытая онлайн библиотека Результат полученный по формуле (3) заведомо даёт большую площадь прямоугольника, так же по формуле (3*) даёт заведомо меньшую площадь, для получения среднего результата используется формула средних прямоугольников: Формула (4) и есть формула трапеций - №30 - открытая онлайн библиотека (3**)

Формула трапеций.

Возьмём определённый интеграл∫f(x)dx, где f(x)- непрерывная подынтегральная функция, которую мы для наглядности будем предполагать положительной. При вычислении интеграла с помощью формулы трапеций подынтегральная функция fзаменяется функцией, график которой представляет собой ломанную линию (на рисунке 2 красным цветом), звенья которой соединяют концы ординат yi-1и yi(i=1,2,…,n). Формула (4) и есть формула трапеций - №31 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №32 - открытая онлайн библиотека Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями x=a, x=b, y=0, y=f(x), а значит (следуя из геометрического смысла), и значение нужного нам интеграла, приблизительно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями yi-1и yiи высотой h=(b-a)/n, так как (если более привычно выражать для нас) hэто Δx,aΔx=(b-a)/n при делении отрезка на nравных отрезков при помощи точек x0=a<x1<…<xn=b. Прямые x=xkразбивают криволинейную трапецию на nполосок. Принимая каждую из этих полосок за обыкновенную трапецию, получаем, что площадь криволинейной трапеции приблизительно равна сумме обыкновенных трапеций.

Формула (4) и есть формула трапеций - №33 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №32 - открытая онлайн библиотека Площадь крайней полоски слева, как помниться из школьного курса геометрии, равна произведению полусуммы основания на высоту.

S= Формула (4) и есть формула трапеций - №35 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №36 - открытая онлайн библиотека

Итак, запишем сказанное выше в математическом виде:

Формула (4) и есть формула трапеций - №37 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №38 - открытая онлайн библиотека (4)

Формула (4) и есть формула трапеций

Формула (4) и есть формула трапеций - №39 - открытая онлайн библиотека Для определения погрешности интеграла вычисленного с помощью формулы трапеций используется формула: Формула (4) и есть формула трапеций - №40 - открытая онлайн библиотека где Формула (4) и есть формула трапеций - №41 - открытая онлайн библиотека

3.Формула Симпсона (формула парабол).

Существует два подхода к формуле Симпсона. В одном используется парабола в другом нет.

А) с использованием параболы.

Разделим отрезок [a;b] на чётное число равных частей n=2m. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x1], [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y=f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки M0[x0,y0], M1[x1,y1], M2[x2,y2] и имеющей ось, параллельную оси Oy (рис). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией.

Уравнение параболы с осью, параллельной оси Oy, имеет вид: Формула (4) и есть формула трапеций - №42 - открытая онлайн библиотека .

Коэффициенты A, Bи C однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строятся и для других пар отрезков. Сумма параболических трапеций и даст приближённое значение интеграла. Сначала вычислим площадь одной параболической трапеции. Для этого докажем лемму.

Формула (4) и есть формула трапеций - №43 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №44 - открытая онлайн библиотека Лемма: если криволинейная трапеция ограничена параболой Формула (4) и есть формула трапеций - №42 - открытая онлайн библиотека , осью Oxи двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то её площадь равна: Формула (4) и есть формула трапеций - №46 - открытая онлайн библиотека (5), где y0и y2- крайние ординаты, а y1- ордината кривой в середине отрезка.

Доказательство:

Формула (4) и есть формула трапеций - №47 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №48 - открытая онлайн библиотека Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. Коэффициент в уравнение параболы Формула (4) и есть формула трапеций - №42 - открытая онлайн библиотека определяются из следующих уравнений:

Если x0=-h, то Формула (4) и есть формула трапеций - №50 - открытая онлайн библиотека

Если x1=0, то Формула (4) и есть формула трапеций - №51 - открытая онлайн библиотека (6)

Если x2=-h, то Формула (4) и есть формула трапеций - №52 - открытая онлайн библиотека

Считая коэффициенты A. B, C известными определим площадь параболической трапеции с помощью определённого интеграла:

Формула (4) и есть формула трапеций - №53 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №54 - открытая онлайн библиотека

из равенства (6) следует, что

Формула (4) и есть формула трапеций - №55 - открытая онлайн библиотека

следовательно: Формула (4) и есть формула трапеций - №56 - открытая онлайн библиотека ч.т.д. пользуясь формулой (5), можно написать приближённые равенства, учитывая, что Формула (4) и есть формула трапеций - №57 - открытая онлайн библиотека

Формула (4) и есть формула трапеций - №58 - открытая онлайн библиотека

Формула (4) и есть формула трапеций - №59 - открытая онлайн библиотека

Формула (4) и есть формула трапеций - №60 - открытая онлайн библиотека

складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближённое значение:

Формула (4) и есть формула трапеций - №61 - открытая онлайн библиотека

или

Формула (4) и есть формула трапеций - №62 - открытая онлайн библиотека

(7)

Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления произвольно, но чем это число больше, тем точнее сумма в правой части равенства (6) даёт значение интеграла. Формула Симпсона даёт самое точное значение интеграла (из классических формул приближённого интегрирования), погрешность для этого метода находится по формуле: Формула (4) и есть формула трапеций - №63 - открытая онлайн библиотека где Формула (4) и есть формула трапеций - №64 - открытая онлайн библиотека

Б) Без использования парабол

В тех случаях, когда линия y=f(x) между x=aи x=b мало изогнута, интеграл Формула (4) и есть формула трапеций - №4 - открытая онлайн библиотека приближенно выражается достаточно простой формулой. Формула (4) и есть формула трапеций - №66 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №67 - открытая онлайн библиотека Будем считать f(x) положительной и искать площадь криволинейной трапеции aABb. Для этого разделим отрезок [a;b] точкой Формула (4) и есть формула трапеций - №68 - открытая онлайн библиотека пополам и в точке c(c,f(c))проведём касательную к линии y=f(x). После этого разделим [a,b] точками p и gна 3 равные части и проведём через них прямые x=pи x=q. Pи Q – точки пересечения прямых с касательной. Соединив APи BQ, получим 3 прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Сумма площадей этих трапеций равна будет примерно равна площади криволинейной трапеции aABb:

Обозначим: Aa, Pp, qQ, bB– основания трапеций;

Формула (4) и есть формула трапеций - №69 - открытая онлайн библиотека - высота трапеций, в данном случае число n строго задано n=3 Формула (4) и есть формула трапеций - №70 - открытая онлайн библиотека

Получаем:

Формула (4) и есть формула трапеций - №71 - открытая онлайн библиотека (8)

Обозначим, что: aA=f(a)=ya, bB=f(b)=yb. Отрезки pPи qQне являются ординатами точек линии y=f(x), так как Pи Qлежат на касательной. Но нам нужна сумма этих отрезков, которая выражается через среднюю линию трапеции и равна полусумме её оснований, откуда Формула (4) и есть формула трапеций - №72 - открытая онлайн библиотека . Значит Формула (4) и есть формула трапеций - №73 - открытая онлайн библиотека . Формула (8) принимает вид:

Формула (4) и есть формула трапеций - №74 - открытая онлайн библиотека (9). Эта формула называется малой формулой Симпсона.

Формула (4) и есть формула трапеций - №75 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №76 - открытая онлайн библиотека Малая формула Симпсона пригодна, когда график подынтегральной функции мало изогнут, например для случая, изображённого на рисунке, применять малую формулу уже нельзя, так как она даёт значение 0 на [a,b]. Но если отрезок [a,b] разбить на части [a,c] и [c,b] и к каждому из них применить формулу (9), то получится приемлемый результат.

Эта идея лежит в основе вывода «большой» формулы Симпсона.

Для вычисления интеграла Формула (4) и есть формула трапеций - №4 - открытая онлайн библиотека выберем какое-либо чётное число и разложим [a,b] на n равных частей точками Формула (4) и есть формула трапеций - №78 - открытая онлайн библиотека . Интеграл представим в виде суммы Формула (4) и есть формула трапеций - №79 - открытая онлайн библиотека . К каждому слагаемому справа применим малую формулу Симпсона. Учитывая, что в каждом интеграле длина промежутка интегрирования Формула (4) и есть формула трапеций - №80 - открытая онлайн библиотека , и положить Формула (4) и есть формула трапеций - №81 - открытая онлайн библиотека , то получим:

Формула (4) и есть формула трапеций - №82 - открытая онлайн библиотека Формула (4) и есть формула трапеций - №11 - открытая онлайн библиотека

Раскроем скобки:

Формула (4) и есть формула трапеций - №84 - открытая онлайн библиотека

Это и есть «большая формула Симпсона». Её точность, также как и у всех формул рассмотренных выше, тем выше, чем больше n. Эта формула совпадает с формулой (7), выведенной с помощью парабол. Для оценки погрешности формулы Симпсона используется формула: Формула (4) и есть формула трапеций - №85 - открытая онлайн библиотека

Качество этой формулы лучше, чем формулы трапеции и прямоугольников, так как при одном и том же n она даёт большую точность.

ПРАКТИКА

Общий вид интеграла, решение которого, будет рассмотрено в этом разделе: Формула (4) и есть формула трапеций - №86 - открытая онлайн библиотека

Заданные значения:

a=0; c=0,3; m=2; b=3; k=7.

Подставим заданные значения:

Формула (4) и есть формула трапеций - №87 - открытая онлайн библиотека .
Сначала, решим искомый интеграл напрямую, основываясь на полученные ранее знания.

Применим метод замены:

Формула (4) и есть формула трапеций - №88 - открытая онлайн библиотека

Разделим отрезок [0;3] на n=10 равных частей и найдём шаг деления: Формула (4) и есть формула трапеций - №89 - открытая онлайн библиотека

Найдём значение подынтегральной функции:

X Y
0,3 0,289
0,6 1,007
0,9 2,199
1,2 3,866
1,5 6,009
1,8 8,628
2,1 11,724
2,4 15,296
2,7 19,344
23,868

ФОРМУЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ:

1.Входящих

Формула (4) и есть формула трапеций - №90 - открытая онлайн библиотека

2.Выходящих

Формула (4) и есть формула трапеций - №91 - открытая онлайн библиотека

3.Средних

X Y
0,15 0,101458
0,45 0,58974
0,75 1,543889
1,05 2,973095
1,35 4,878247
1,65 7,259531
1,95 10,11701
2,25 13,45069
2,55 17,2606
2,85 21,54674

Формула (4) и есть формула трапеций - №92 - открытая онлайн библиотека

Определим погрешность метода прямоугольников:

Pnp= Формула (4) и есть формула трапеций - №93 - открытая онлайн библиотека

М2– максимальное значение второй производной на данном промежутке.

ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ

Формула (4) и есть формула трапеций - №94 - открытая онлайн библиотека Определим погрешность метода трапеции:

Формула (4) и есть формула трапеций - №95 - открытая онлайн библиотека