Решение невырожденных СЛУ

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными (т.е. m=n):

Решение невырожденных СЛУ - №1 - открытая онлайн библиотека (3)

или в матричной форме АХ = В (4)

где А - квадратная матрица порядка n. Определитель матрицы А

Решение невырожденных СЛУ - №2 - открытая онлайн библиотека называется определителем системы (3) или главным определителем.

Если ∆ ≠ 0, то система (3) называется невырожденной, в противном случае система называется вырожденной.

Для решения невырожденных систем используются формулы Крамера и матричный метод.

Формулы Крамера:

если ∆ ≠ 0, тогда система (3) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

Решение невырожденных СЛУ - №3 - открытая онлайн библиотека

где ∆i - определитель, который получается из определителя ∆ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Матричный метод:

если ∆ ≠ 0, тогда существует обратная матрица А-1. Решаем матричное уравнение (4): Решение невырожденных СЛУ - №4 - открытая онлайн библиотека .

Так как обратная матрица определяется однозначно, то решение системы (3) будет единственным.

Замечание. Невырожденные системы, у которых число уравнений m равно числу неизвестных п, называют системами крамеровского типа или крамеровскими.

Пример.

Найти решение системы уравнений

Решение невырожденных СЛУ - №5 - открытая онлайн библиотека

Данная система является системой крамеровского типа, т.к. содержит m=3 уравнений и n=3 неизвестных.

Решение невырожденных СЛУ - №6 - открытая онлайн библиотека

Находим

Решение невырожденных СЛУ - №7 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, существует единственное решение системы, которое найдем по формулам Крамера.

Решение невырожденных СЛУ - №8 - открытая онлайн библиотека

Пример.

Найти решение системы

Решение невырожденных СЛУ - №9 - открытая онлайн библиотека 9

Данная система является системой крамеровского типа, т.к. содержит m=3 уравнений и n=3 неизвестных.

Решение невырожденных СЛУ - №10 - открытая онлайн библиотека

Находим

Решение невырожденных СЛУ - №11 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, существует единственное решение системы, которое найдем с помощью матричного метода: Х = А-1В.

Решение невырожденных СЛУ - №12 - открытая онлайн библиотека

Решение невырожденных СЛУ - №13 - открытая онлайн библиотека

Задачи для самостоятельного решения.

Решить системы уравнений с помощью формул Крамера или матричным методом:

Решение невырожденных СЛУ - №14 - открытая онлайн библиотека

Метод Гаусса

(метод последовательного исключения неизвестных).

Рассмотрим систему (1). Составим расширенную матрицу системы, разделив элементы матрицы системы и свободные члены вертикальной чертой. Элементы строк, стоящие до вертикальной черты будем называть коэффициентами, а после черты - свободными членами.

Метод Гаусса состоит из двух этапов: прямого и обратного ходов. В процессе прямого хода расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований над строками (перестановка строк, умножение всех элементов некоторой строки на неравное нулю число, вычеркивание одной из пропорциональных строк, прибавление ко всем элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число) к треугольному виду или трапециевидной матрице. В процессе обратного хода составляется равносильная система, из которой легко находятся неизвестные.

Замечание. При решении удобно, чтобы коэффициенты, стоящие на главной диагонали были равны 1. Этого можно достигнуть перестановкой уравнений.

Если в процессе прямого хода получаем:

- в некоторой строке все коэффициенты = 0, а свободный член ≠ 0, то система несовместна, решений нет;

- в некоторой строке все коэффициенты = 0 и свободный член = 0, то эту строку можно вычеркнуть;

- коэффициенты двух строк равны или пропорциональны, а свободные члены соответственно не равны или не пропорциональны, то система несовместна, решений нет;

Проиллюстрируем все сказанное на примере.

Пример.

Найти решение системы

Решение невырожденных СЛУ - №15 - открытая онлайн библиотека

Составим расширенную матрицу и применим прямой ход:

1) переставим первую и вторую строки, чтобы первый элемент первого столбца а11 был равен 1 (для облегчения вычислений);

2) обратим в 0 все элементы первого столбца, стоящие ниже а11: для этого домножаем поочередно первую строку на -2, -1, -5 и прибавляем соответственно ко 2, 3, 4 строке;

3) 2, 3, 4строки являются пропорциональными, следовательно две из них можно вычеркнуть (вычеркиваем 3 и 4):

Решение невырожденных СЛУ - №16 - открытая онлайн библиотека ~ Решение невырожденных СЛУ - №17 - открытая онлайн библиотека ~ Решение невырожденных СЛУ - №18 - открытая онлайн библиотека ~ Решение невырожденных СЛУ - №19 - открытая онлайн библиотека

Следовательно, с помощью элементарных преобразований наша система приведена к виду

Решение невырожденных СЛУ - №20 - открытая онлайн библиотека

Для четырех переменных имеем только две значимых связи, следовательно здесь переменные зависят друг от друга, два неизвестных необходимо объявить свободными. Пусть х3, х4 - свободные неизвестные, тогда

Решение невырожденных СЛУ - №21 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений. Заменим свободные неизвестные х31, х42 .

Ответ:

Общее решение Решение невырожденных СЛУ - №22 - открытая онлайн библиотека

Частное решение (пусть н-р С1 = 0, С2 =1) ХЧ.Р. = (23,-6,0,1)Т.