Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей

Математическое ожидание и дисперсия для биномиального закона.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ

среднее значение, случайной величины - числовая характеристика распределения вероятностей случайной величины. Самым общим образом М. о. случайной величины Х(w), Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №1 - открытая онлайн библиотека определяется как интеграл Лебега по отношению к вероятностной мере Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №2 - открытая онлайн библиотека в исходном вероятностном пространстве Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №3 - открытая онлайн библиотека

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №4 - открытая онлайн библиотека

М. о. может быть вычислено и как интеграл Лебега от хпо распределению вероятностей Р Х величины X:

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №5 - открытая онлайн библиотека

где Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №6 - открытая онлайн библиотека - множество всех возможных значений X. М. о. функций от случайной величины Xвыражается через распределение Р Х:напр., если X - случайная величина со значениями в Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №7 - открытая онлайн библиотека и f(x) - однозначная бо-релевская функция х, то

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №8 - открытая онлайн библиотека

Если F(x) - функция распределения X, то М. о. представимо интегралом Лебега - Стилтьеса (или Римана - Стилтьеса)

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №9 - открытая онлайн библиотека

при этом интегрируемость Xв смысле (*) равносильна конечности интеграла

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №10 - открытая онлайн библиотека

В частных случаях, если Xимеет дискретное распределение с возможными значениями х k, k=1, 2, . . ., и соответствующими вероятностями Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №11 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №12 - открытая онлайн библиотека то

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №13 - открытая онлайн библиотека

если Xимеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью вероятности р(х), то

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №14 - открытая онлайн библиотека

при этом существование М. о. равносильно абсолютной сходимости соответствующего ряда или интеграла. Основные свойства М. о.:

а) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №15 - открытая онлайн библиотека

б) ЕС=С для любого действительного С:

в) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №16 - открытая онлайн библиотека

для любых действительных a и b;

г) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №17 - открытая онлайн библиотека

если сходится ряд

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №18 - открытая онлайн библиотека

д) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №19 - открытая онлайн библиотека для выпуклых функции g(x).

е) любая ограниченная случайная величина имеет конечное М. о. Кроме того,

ж) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №20 - открытая онлайн библиотека

для взаимно независимых случайных величин X1, ..., Х п.

Биномиальное распределение

Биноминальный закон распределения

Биноминальное распределение - это распределение вероятностей возможных чисел появления события А при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может осуществиться с одной и той же вероятностью Р(А) = р = const. Кроме события А может произойти также противоположное событие Ā, вероятность которого Р(Ā) = 1 - р = q.

Вероятности любого числа событий соответствуют членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу испытаний:

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №21 - открытая онлайн библиотека

где pn - вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит n раз;

qn - вероятность того, что при n испытаниях событие А не наступит ни разу;

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №22 - открытая онлайн библиотека - вероятность того, что при n испытаниях событие А наступит m раз, а событие Āнаступит n-m раз;

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №23 - открытая онлайн библиотека - число сочетаний (комбинаций) появления события А и Ā.

Числовые характеристики биноминального распределения:

М(m)=np - математическое ожидание частоты появления события А при n независимых испытаниях;

D(m)=npq - дисперсия частоты появления события. А;

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №24 - открытая онлайн библиотека - среднее квадратическое отклонение частоты.

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей

Функцией распределения вероятностей называют функцию Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №25 - открытая онлайн библиотека , определяющую вероятность того, что случайная величина Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №26 - открытая онлайн библиотека в результате испытания примет значение, меньшее Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №27 - открытая онлайн библиотека , то есть:
Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №28 - открытая онлайн библиотека .
Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения вероятностей есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.

Интегральная функция (функция распределения)

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №29 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №30 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №31 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №32 - открытая онлайн библиотека

Свойства:

1) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №33 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №34 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №35 - открытая онлайн библиотека ;

2) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №36 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №37 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №38 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №39 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №40 - открытая онлайн библиотека ;

3) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №41 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №42 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №43 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №44 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №45 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №46 - открытая онлайн библиотека ;

4) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №47 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №48 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №49 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №50 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №51 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №52 - открытая онлайн библиотека .

Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности)

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №53 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №54 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №55 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №56 - открытая онлайн библиотека

где F(x) - интегральная функция.

Свойства:

1) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №57 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №58 - открытая онлайн библиотека ;

2) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №59 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №60 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №61 - открытая онлайн библиотека ;

3) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №62 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №63 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №64 - открытая онлайн библиотека ;

4) Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №65 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №66 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №67 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №68 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №69 - открытая онлайн библиотека .

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №70 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №71 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №72 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №73 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №74 - открытая онлайн библиотека

Дисперсия

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №75 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №76 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №77 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №78 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №79 - открытая онлайн библиотека

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №80 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №81 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №82 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №83 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №84 - открытая онлайн библиотека

Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №85 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №86 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №87 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №88 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №89 - открытая онлайн библиотека Непрерывные случайные величины. Интегральная функция распределения. Плотность распределения вероятностей - №90 - открытая онлайн библиотека