Уравнения метода конечных элементов

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассмотрены основы метода конечных элементов (МКЭ), который получил широкое применение в решении инженерно-технических задач и научных проблем с 70-х годов XX века в связи с развитием вычислительной техники.

Основная идея МКЭ

Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину/функцию (перемещение, температура, давление) можно представить (аппроксимировать) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей (элементов).

Этапы построения дискретной модели непрерывной функции:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число узловых точек (узлов).

2. Значение непрерывной функции в каждой узловой точке считается неизвестной переменной, которая должна быть определена.

3. Область определения непрерывной функции разбивается на конечное число подобластей (элементов), которые имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют геометрическую форму области.

4. Непрерывная функция аппроксимируется на каждом элементе полиномом (функция формы элемента), который определяется с помощью узловых значений этой функции. Полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента.

Например, аппроксимация функции T(x) состоит из 4-х кусочно-линейных функций формы, каждая из которых определена на отдельном элементе (рис.6.1) и выражается через значения функции в узловых точках T1, T2, T3, T4, T5:

f1 = f1(T1, T2)

f2 = f2(T2, T3)

f3 = f3(T3, T4)

f4 = f4(T4, T5)

Кусочно-непрерывная линейная аппроксимация функции в области определения

Для примера на рис.6.2 представлена линейная аппроксимация функции T(x) на отрезке длиной L.

Линейная аппроксимация функции на отрезке

Граничные условия:

значение функции T = Ti при x = xi

значение функции T = Tj при x = xj

Примем линейную функцию формы элемента на отрезке:

T = α1 + α2∙x

С учетом граничных условий получаем систему из 2-х уравнений с двумя неизвестными α1 и α2:

Ti = α1 + α2∙xi

Tj = α1 + α2∙xj

откуда получаем:

α1 = (Ti∙xj - Tj∙xi)/L

α2 = (Tj – Ti)/L

Тогда окончательно функция формы элемента выражается через узловые координаты xi и xj и длину отрезка L:

На рис.6.3 изображена функция 2-х переменных f(x,y) и ее аппроксимация треугольными элементами.

Уравнения метода конечных элементов

Разрешающие уравнения МКЭ связывают неизвестные узловые значения искомой функции, граничные условия и физические параметры задачи (конструкции).