Задачи для контрольных заданий

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Камский институт инженерных и гуманитарных технологий

АВЕРЬЯНОВ В.Е., ПОРЦЕВА Л.И., БАРАНОВА Н.А.

МАТЕМАТИКА

УЧЕБНО-ПРАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Задания контрольной работы

ИЖЕВСК 2005

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ.

При выполнении и оформлении контрольных работ необходимо соблюдать

следующие правила:

1) контрольная работа выполняется в отдельной тетради, а не на листках, обязательно чернилами или шариковой ручкой (цвет чернил или пасты – любой, кроме красного) с полями шириной 4-5 см для замечаний рецензента;

2) на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы и дата отсылки работы в институт;

3) в работу должны быть включены все задания. Задачи и их решения располагаются в порядке возрастания номеров, перед решением задачи должен быть записан ее номер и ее условие. Условие задачи переписывается полностью, без сокращения слов.

4) решение задачи должно начинаться со слова “Решение”. Само решение должно представлять собой связный текст, а не голый набор формул и преобразований, причем пояснительный текст должен быть минимально необходимым. Окончательный результат решения задачи необходимо выделить с предшествующим ему словом “Ответ”.

4) Если в работе имеются ошибки, студент должен выполнить все требования преподавателя, изложенные в рецензии, и отправить работу с исправлениями на повторную проверку. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для их исправления и дополнения.

5) Никакие исправления в тексте уже проверенной работы не допускаются. Все исправления записываются после рецензии преподавателя с указанием номера задачи, к которой они относятся.

6) В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

Контрольные работы, выполненные с нарушением изложенных требований или выполненные студентами не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются без проверки.

Контрольные работы должны выполнятся самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала; в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету и экзамену.

Каждую контрольную работу после проверки студент предъявляет к защите.

На защите студент должен объяснить и, в случае необходимости, защитить свое решение, ответить на поставленные преподавателем вопросы по решенным в работе задачам. Без предъявления защищенных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

  1. Аверьянов В.Е., Никулин В.А., Понамарев В.А. Математика: Учеб. Пособие / Под ред. В.А. Никулина.- Ижевск, КИГИТ, 2004.
  2. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. – М.: Просвещение, 1995.
  3. Данко П.Е.,Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учебное пособие для вузов – М.: Высшая школа, 1999.
  4. Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. - М.:Высшая школа,2003.

Дополнительная

  1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математики для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980.
  2. Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. – М.: ЮНИТИ, 2000.
  3. Беклкмемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1976.
  4. Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1983. – Т.1.
  5. Баврин И.И. Курс Высшей математики. – М.: Просвещение, 1992.

Пример 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Доказать ее совместност ь и решить тремя способами: 1) с помощью формул Крамера; 2) методом матричного исчисления; 3) методом Гаусса.

 
  Задачи для контрольных заданий - №1 - открытая онлайн библиотека

1) x1 - 5х2 + 2х3 = 6

3x1 - х2 - х3 = - 3

-2x1 + 2х2 + 3х3 = 3

Решение .Вычислим определитель системы.

∆= Задачи для контрольных заданий - №2 - открытая онлайн библиотека =1∙(-1)∙3 + (-5)∙(-1)∙(-2) + 2∙3∙2 - 2∙(-1)∙(-2) – (-5)∙3∙3 - 1∙(-1)∙2=42.

Так как ∆≠0, то система совместна и имеет единственное решение.

Найдем 1, ∆2,∆3, - определители третьего порядка, полученные из определителя системы ∆ заменой 1, 2 и 3-го столбца соответственно столбцом свободных членов.

1 = Задачи для контрольных заданий - №3 - открытая онлайн библиотека = - 42, 2 = Задачи для контрольных заданий - №4 - открытая онлайн библиотека = -42, ,∆3 = Задачи для контрольных заданий - №5 - открытая онлайн библиотека = 42.

Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получаем искомое решение системы: х1=∆1/∆=-1, х2= ∆2/∆=-1, х3= ∆3/∆= 1.

Сделаем проверку.

-1 - 5∙ (-1) + 2∙1 = 6 - верно,

3∙(-1) – (-1) – 1 = -3 - верно,

-2∙(-1) + 2∙(-1) + 3∙1 = 3 - верно.

Ответ: х1=-1, х2= -1, х3= 1.

2) Решим систему методом Гаусса.

 
  Задачи для контрольных заданий - №6 - открытая онлайн библиотека

x1 - 5х2 + 2х3 = 6

3x1 - х2 - х3= - 3

-2x1 + 2х2 + 3х3 = 3

Расширенная матрица системы имеет вид Задачи для контрольных заданий - №7 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №8 - открытая онлайн библиотека . Преобразуем расширенную матрицу системы следующим образом.

Шаг 1. 1-ю строку умножая на (- 3), 2 и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей строкам, исключим переменную x1из второй и третьей строк .

Шаг 2. 2-ю строку умножая на 4 и прибавяя к 3-ей, исключим из нее переменную х2.

Таким образом , имеем:

Задачи для контрольных заданий - №7 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №8 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №11 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №12 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №13 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №11 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №15 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №16 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №11 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №18 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №19 - открытая онлайн библиотека

Используя обратный ход метода Гаусса найдем

из 3-го уравнения : 3 = 3 Задачи для контрольных заданий - №11 - открытая онлайн библиотека х3 = 1

из 2 -го уравнения : 2 - х3 = -3 Задачи для контрольных заданий - №11 - открытая онлайн библиотека 2 - 1 = -3 Задачи для контрольных заданий - №11 - открытая онлайн библиотека х2 = -1

из 1 -го уравнения : x1 - 5х2 + 2х3 = 6 Задачи для контрольных заданий - №11 - открытая онлайн библиотека x1 + 5 + 2 = 6 Задачи для контрольных заданий - №11 - открытая онлайн библиотека x1 = -1

Ответ: х1=-1, х2= -1, х3= 1.

3). Решим систему уравнений матричным методом. Здесь

A = Задачи для контрольных заданий - №2 - открытая онлайн библиотека ; Х= Задачи для контрольных заданий - №26 - открытая онлайн библиотека ; В= Задачи для контрольных заданий - №27 - открытая онлайн библиотека .

Так как определитель матрицы системы отличен от нуля: |A| = 42 , то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы А-1 вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А и составим матрицу из алгебраических дополнений

||Ai j|| = Задачи для контрольных заданий - №28 - открытая онлайн библиотека .Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений ||Ai j ||T = Задачи для контрольных заданий - №29 - открытая онлайн библиотека .Разделив каждый элемент транспонированной матрицы на определитель, получим обратную матрицу А-1=1/42 Задачи для контрольных заданий - №29 - открытая онлайн библиотека .

Умножив слева обратную матрицу на матрицу столбец свободных членов, получим искомую матрицу столбец неизвестных: Х=А-1∙В или

Х= Задачи для контрольных заданий - №26 - открытая онлайн библиотека = 1/42 Задачи для контрольных заданий - №29 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №27 - открытая онлайн библиотека = 1/42 Задачи для контрольных заданий - №34 - открытая онлайн библиотека = Задачи для контрольных заданий - №35 - открытая онлайн библиотека .

Ответ: х1=-1, х2= -1, х3= 1.

Пример 2.Даны вершины А1(3; -2; 2), А2(1; -3; 1), А3(2; 0; 4),А4(6; -4: 6). Средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра А1 А2

2) угол между ребрами А1 А2и А1 А3

3) площадь грани А1А2А3

4) объем пирамиды А1А2А3А4

Решение. 1) Находим вектор А1А2:

Задачи для контрольных заданий - №36 - открытая онлайн библиотека =(1 - 3)i+ (-3 – (-2))j +(1 – 2)k= - 2i - 1j - k.

Длину вектора, т.е. длину ребра А1А2 найдем по формуле

Задачи для контрольных заданий - №37 - открытая онлайн библиотека

2) Найдем координаты вектора Задачи для контрольных заданий - №38 - открытая онлайн библиотека =(2 – 3)i +(0 –(- 2))j +(4 -2)k= - i + 2j + 2k.

Скалярное произведение векторов Задачи для контрольных заданий - №36 - открытая онлайн библиотека и Задачи для контрольных заданий - №38 - открытая онлайн библиотека находим по формуле

Задачи для контрольных заданий - №36 - открытая онлайн библиотекаЗадачи для контрольных заданий - №38 - открытая онлайн библиотека =(-2) ∙ (-1) + (-1) ∙ 2 + (-1) ∙ 2 = - 2, а косинус угла между ними – по формуле: Задачи для контрольных заданий - №43 - открытая онлайн библиотека .

Отсюда следует, что φ – тупой угол, φ=π – arccos0,27 = 1,85 рад с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами А1 А2 и А1 А3 .

3) Площадь грани А1А2А3равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах Задачи для контрольных заданий - №36 - открытая онлайн библиотека и Задачи для контрольных заданий - №38 - открытая онлайн библиотека , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов:

Задачи для контрольных заданий - №36 - открытая онлайн библиотека x Задачи для контрольных заданий - №38 - открытая онлайн библиотека = Задачи для контрольных заданий - №48 - открытая онлайн библиотека .

Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке. Следовательно,

Задачи для контрольных заданий - №49 - открытая онлайн библиотека .

4) Объем Vпирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах

Задачи для контрольных заданий - №36 - открытая онлайн библиотека , Задачи для контрольных заданий - №38 - открытая онлайн библиотека и Задачи для контрольных заданий - №52 - открытая онлайн библиотека . Вектор Задачи для контрольных заданий - №52 - открытая онлайн библиотека =3 i - 2j + 4k. Используя формулу Задачи для контрольных заданий - №54 - открытая онлайн библиотека

.

Пример. Найти центры и привести к каноническому виду и построить кривые :

1) 2 x2 + 3 y2 - 4x + 6y - 7 = 0 ;

2) 2 x y = a2

Решение1). B = 0, Задачи для контрольных заданий - №55 - открытая онлайн библиотека = -72 Задачи для контрольных заданий - №56 - открытая онлайн библиотека 0 , Задачи для контрольных заданий - №57 - открытая онлайн библиотека = 6 > 0 - эллипс

Выполним приведение к полному квадрату: 2 (x - 1)2 + 3 (y + 1)2 - 12 = 0

Координаты центра симметрии ( 1; - 1), линейное преобразование X = x - 1, Y = y + 1 приводит уравнение к каноническому виду X2 /6 + Y2 /4 = 1 , где a = 2.48 ,b = 2

2). B = 1, Задачи для контрольных заданий - №58 - открытая онлайн библиотека = a2 Задачи для контрольных заданий - №56 - открытая онлайн библиотека 0 , Задачи для контрольных заданий - №60 - открытая онлайн библиотека = - 1 < 0 - гипербола

Центр системы координат находится в центре симметрии кривой, т.к. в уравнении нет линейных членов. Совершим поворот осей на угол Задачи для контрольных заданий - №61 - открытая онлайн библиотека .. По формуле ( 45 ) имеем tg 2 Задачи для контрольных заданий - №62 - открытая онлайн библиотека = B/(A - C) = Задачи для контрольных заданий - №63 - открытая онлайн библиотека , т.е. Задачи для контрольных заданий - №62 - открытая онлайн библиотека = 450. Коэффициенты канонического уравнения ( 46 ) A+ , C+ определяются уравнением ( 48 ) : t2 = 1 или t1,2 = Задачи для контрольных заданий - №65 - открытая онлайн библиотека 1 Задачи для контрольных заданий - №11 - открытая онлайн библиотека A+ = 1, C+ = -1, т.е. X2 - Y2 = a2 или X2 / a2 - Y2 / a2 = 1

Задачи для контрольных заданий - №67 - открытая онлайн библиотека Уравнение 2х у = а2 описывает гиперболу с центром в (0;0). Оси симметрии располагаются по биссектрисам координатных углов, асимптотами служат оси координат, полуоси гиперболы равны а.


Задачи для контрольных заданий

Контрольная работа №1

ЗАДАНИЕ 1

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Доказать ее совместность и решить тремя способами: 1) с помощью формул Крамера; 2) методом матричного исчисления; 3) методом Гаусса.

Задачи для контрольных заданий - №1 - открытая онлайн библиотека Задачи для контрольных заданий - №1 - открытая онлайн библиотека

1 + х2 + 3х3 = 7

1.1 2х1 + 3х2 + х3 = 1

1 + 2х2 + х3 = 6

 
  Задачи для контрольных заданий - №70 - открытая онлайн библиотека

1 - х2 + 2х3 = 3

1.2 х1 + х2 + 2х3 = -4

1 + х2 + 4х3 = -3

 
  Задачи для контрольных заданий - №71 - открытая онлайн библиотека

1 - х2 + х3 = 12

1.3 х1 + 2х2 + 4х3= 6

1 + х2 + 2х3 = 3

Задачи для контрольных заданий - №72 - открытая онлайн библиотека1 - х2 + 3х3 = -4

1.4 х1 + 3х2 - х3 = 11

х1 - 2х2 + 2х3 = -7

Задачи для контрольных заданий - №73 - открытая онлайн библиотека1 - 2х2 + 4х3 = 12

1.5 3х1 + 4х2 - 2х3 = 6

1 - х2 - х3 = -9

1 + 3х2 - 6х3 = -4

1.6 х1 + х2 - х3 = 2

1 + х2 - 3х3 = -5

 
  Задачи для контрольных заданий - №74 - открытая онлайн библиотека

1 + х2 - 3х3 = 9

1.7 х1 + х2 - х3 = -2

1 + 3х2 - 6х3 = 12

Задачи для контрольных заданий - №74 - открытая онлайн библиотека1 + 3х2 + 4х3 = 33 1.8 7х1 - 5х2 = 24

1 + 11х3 = 39

Задачи для контрольных заданий - №76 - открытая онлайн библиотека1 + 3х2 + 4х3 = 12

1.9 7х1 - 5х2 + х3 = -33

1 + х3 = -7

 
  Задачи для контрольных заданий - №77 - открытая онлайн библиотека

х1 + 4х2 - х3 = 6

1.10 5х2 + 4х3 = -20

1 - 2х2 + 5х3 = -22

ЗАДАНИЕ 2

Даны вершины А(Х1;Y1), В(Х2;Y2), С(Х3;Y3) треугольника АВС. Требуется найти:

а) уравнение стороны АВ ;

б) уравнение высоты СН;

в) уравнение медианы АМ;

г) Точку пересечения Р медианы АМ и высоты СН;

д) расстояние от точки С до прямой АВ;

е) величина (в радианах) внутреннего угла А;

ж) площадь треугольника АВС.

2.1 А(-2;4), В(3;1), С(10;7).

2.2А(-3;-2), В(14;4), С(6;8).

2.3А(1;7), В(-3;-1), С(11;-3).

2.4А(1;0), В(-1;4), С(9;5).

2.5А(1;-2), В(7;1), С(3;7).

2.6А(-2;-3), В(1;6), С(6;1).

2.7А(-4;2), В(-6;6), С(6;2).

2.8 А(4;-3), В(7;3), С(1;10).

2.9 А(4;-4), В(8;2), С(3;8).

2.10А(-3;-3), В(5;-7), С(7;7).

ЗАДАНИЕ 3

3.1.Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;-2) вдвое меньше, чем от прямой Х+1=0.

3.2. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(2;-2) вдвое больше, чем от прямой Х+1=0.

3.3. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки А(3;1) и от прямой Y+5=0.

3.4.Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки А(3;4) в два раза больше, чем от точки В(6;7).

3.5.Составить уравнение геометрического места точек, являющихся центрами окружностей, проходящих через точку А(3;2) и касающихся оси ОХ.

3.6.Составить уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точку А(-4;2) и касающихся оси OY.

3.7.Составит уравнение линии, сумма расстояния точек которой от точек А(2;4) и В(-4;4) равна 8.

3.8.Составить уравнение линии, сумма расстояния точек которой от точек А(2;-2) и В(2;4) равна 8.

3.9.Составить уравнение линии, каждая точка которой вдвое ближе к точке А(-4;3), чем к точке В(1;-2).

3.10.Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от прямой Х+6=0 и от начала координат.


ЗАДАНИЕ 4

Даны вершины А1(X1; Y1; Z1), А2(X2; Y2; Z2), А3(X3; Y3; Z3),

А4(X4; Y4; Z4). Средствами векторной алгебры найти:

а) длину ребра А1 А2

б) угол между ребрами А1 А2и А1 А3

в) площадь грани А1А2А3

г) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины А4

д) уравнение высоты пирамиды, проведенной из вершины А4

е) объем пирамиды А1А2А3А4

4.1. А1(7;0;3), А2(3;0;-1), А3(3;0;5), А4(4;3;-2).

4.2. А1(1;-1;6), А2(2;5;-2), А3(-3;3;3), А4(4;1;5).

4.3. А1(3;6;1), А2(6;1;4), А3(3;-6;10), А4(7;5;4).

4.4. А1(1;1;3), А2(6;1;4), А3(6;4;1), А4(0;5;6).

4.5. А1(4;4;5), А2(10;2;3), А3(-3;5;4), А4(6;-2;2).

4.6. А1(-1;2;5), А2(-4;6;4), А3(2;1;5), А4(-1;-2;2).

4.7. А1(2;-1;9), А2(1;1;5), А3(7;3;1), А4(2;6;-2).

4.8. А1(1;-2;2), А2(-1;-3;4), А3(5;5;-1), А4(2;-4;5).

4.9. А1(1;1;3), А2(7;1;1), А3(2;2;2), А4(4;1;-1).

4.10. А1(3;1;2), А2(5;0;-1), А3(0;3;6), А4(3;7;10).

ЗАДАНИЕ 5

Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти ее параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

5.1 х2 + у2 +6х – 4у – 68 = 0

5.2 9 х2 - 4у2 - 18х – 16у - 43 = 0

5.3 4х2 + 5у2 + 8х – 100у + 484 = 0

5.4 3х2 - 6у2 - 12х – 108у - 492 = 0

5.5 2х2 + 9у2 + 12х – 108у +324= 0

5.6 3х2 - 10у2 - 24 х – 100у - 172 = 0

5.7 4х2 + 9у2 + 32х – 72у + 172 = 0

5.8 5х2 - 8у2 - 50 х – 48у + 13= 0

5.9 6х2 + 7у2 + 60х – 28у + 136= 0

5.10 7х2 - 6у2 - 84х – 12у - 288=