Решение задания типа 1-10

При условном делении экономики на три отрасли задана матрица коэффициентов прямых затрат Решение задания типа 1-10 - №1 - открытая онлайн библиотека и вектор конечной продукции Решение задания типа 1-10 - №2 - открытая онлайн библиотека . Требуется:

1. Записать уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме.

2. Найти плановые объемы выпуска валовой продукции отраслей. Систему линейных алгебраических уравнений решить методом Гаусса. Решение системы записать в неправильных дробях.

3. Выполнить проверку результата.

4. Записать приближенный ответ с точностью до сотых.

1. Уравнение линейного межотраслевого баланса имеет вид Решение задания типа 1-10 - №3 - открытая онлайн библиотека , где Решение задания типа 1-10 - №4 - открытая онлайн библиотека вектор валового выпуска продукции, Решение задания типа 1-10 - №5 - открытая онлайн библиотека вектор конечного потребления, Решение задания типа 1-10 - №6 - открытая онлайн библиотека матрица прямых материальных затрат. Известны вектор конечного потребления Решение задания типа 1-10 - №2 - открытая онлайн библиотека и матрица прямых материальных затрат Решение задания типа 1-10 - №1 - открытая онлайн библиотека .

Подставим в уравнение Леонтьева Решение задания типа 1-10 - №3 - открытая онлайн библиотека векторы Решение задания типа 1-10 - №10 - открытая онлайн библиотека и матрицу А:

Решение задания типа 1-10 - №11 - открытая онлайн библиотека Решение задания типа 1-10 - №12 - открытая онлайн библиотека Решение задания типа 1-10 - №13 - открытая онлайн библиотека .

Используя правила умножения матриц, сложения векторов и определение равенства векторов, получаем систему уравнений:

Решение задания типа 1-10 - №14 - открытая онлайн библиотека

Полученная система – это векторное уравнение линейного межотраслевого баланса в координатной форме.

Для решения этой системы приведем подобные члены:

Решение задания типа 1-10 - №15 - открытая онлайн библиотека

Все уравнения умножим на 10:

Решение задания типа 1-10 - №16 - открытая онлайн библиотека

2. Решим полученную систему методом Гаусса. Основная его идея состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, где одно из уравнений содержит все неизвестные, второе – на одно неизвестное меньше, и т.д., последнее уравнение содержит лишь одно из неизвестных. Эти преобразования называют прямым ходом метода Гаусса.

Для удобства вычислений третье уравнение поставим первым, и оно будет ведущим на первом этапе вычислений:

Решение задания типа 1-10 - №17 - открытая онлайн библиотека

Исключим неизвестную Решение задания типа 1-10 - №18 - открытая онлайн библиотека из второго уравнения. Для этого умножим первое уравнение на 9 и прибавим ко второму:

Решение задания типа 1-10 - №19 - открытая онлайн библиотека .

Исключим неизвестную Решение задания типа 1-10 - №18 - открытая онлайн библиотека из третьего уравнения. Для этого умножим первое уравнение на (–2) и прибавим к третьему:

Решение задания типа 1-10 - №21 - открытая онлайн библиотека

Получаем систему:

Решение задания типа 1-10 - №22 - открытая онлайн библиотека

Исключим неизвестную Решение задания типа 1-10 - №23 - открытая онлайн библиотека из третьего уравнения. Для этого второе уравнение разделим на 22, умножим на 12 и прибавим к третьему:

Решение задания типа 1-10 - №24 - открытая онлайн библиотека или 454х3 = 32500 или 227х3 = 16250.

Получаем систему:

Решение задания типа 1-10 - №25 - открытая онлайн библиотека

Замечание.

Преобразования в методе Гаусса удобнее выполнять не с самой системой уравнений, а с расширенной матрицей системы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов:

Решение задания типа 1-10 - №26 - открытая онлайн библиотека Решение задания типа 1-10 - №27 - открытая онлайн библиотека ~

Решение задания типа 1-10 - №28 - открытая онлайн библиотека Решение задания типа 1-10 - №29 - открытая онлайн библиотека ~

Решение задания типа 1-10 - №30 - открытая онлайн библиотека Решение задания типа 1-10 - №31 - открытая онлайн библиотека ~

Решение задания типа 1-10 - №32 - открытая онлайн библиотека Решение задания типа 1-10 - №33 - открытая онлайн библиотека .

Используя полученную матрицу, выпишем преобразованную систему:

Решение задания типа 1-10 - №34 - открытая онлайн библиотека

Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратный ход заключается в том, что из последнего уравнения находят неизвестную Решение задания типа 1-10 - №35 - открытая онлайн библиотека , затем из второго – Решение задания типа 1-10 - №23 - открытая онлайн библиотека , а из первого – Решение задания типа 1-10 - №18 - открытая онлайн библиотека . Выполним это:

Решение задания типа 1-10 - №38 - открытая онлайн библиотека ,

Решение задания типа 1-10 - №23 - открытая онлайн библиотека = Решение задания типа 1-10 - №40 - открытая онлайн библиотека Решение задания типа 1-10 - №41 - открытая онлайн библиотека ,

Решение задания типа 1-10 - №18 - открытая онлайн библиотека = Решение задания типа 1-10 - №43 - открытая онлайн библиотека .

Итак, решение системы в неправильных дробях будет иметь вид: Решение задания типа 1-10 - №44 - открытая онлайн библиотека , Решение задания типа 1-10 - №45 - открытая онлайн библиотека , Решение задания типа 1-10 - №38 - открытая онлайн библиотека . Они будут выражать плановые объемы выпуска валовой продукции отраслей.

3. Выполним проверку полученного результата. Для этого подставим эти значения в исходную систему:

Решение задания типа 1-10 - №47 - открытая онлайн библиотека

Вычисляя, получаем верные равенства.

4. Запишем приближенный ответ с точностью до сотых: Решение задания типа 1-10 - №48 - открытая онлайн библиотека ; Решение задания типа 1-10 - №49 - открытая онлайн библиотека ; Решение задания типа 1-10 - №50 - открытая онлайн библиотека .

Решение задания типа 11-20. Даны векторы Решение задания типа 1-10 - №51 - открытая онлайн библиотека в некотором базисе. Показать, что векторы Решение задания типа 1-10 - №52 - открытая онлайн библиотека образуют базис и найти координаты вектора Решение задания типа 1-10 - №53 - открытая онлайн библиотека в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера.

Например, Решение задания типа 1-10 - №54 - открытая онлайн библиотека

Решение. Для того, чтобы векторы Решение задания типа 1-10 - №52 - открытая онлайн библиотека образовывали базис, необходимо показать, что векторы некомпланарны, т.е. их смешанное произведение Решение задания типа 1-10 - №56 - открытая онлайн библиотека отлично от нуля.

Вычислим смешанное произведение Решение задания типа 1-10 - №56 - открытая онлайн библиотека с помощью определителя третьего порядка:

Решение задания типа 1-10 - №56 - открытая онлайн библиотека = Решение задания типа 1-10 - №59 - открытая онлайн библиотека = -23.

Поскольку Решение задания типа 1-10 - №56 - открытая онлайн библиотека = -23 Решение задания типа 1-10 - №61 - открытая онлайн библиотека 0, то векторы Решение задания типа 1-10 - №52 - открытая онлайн библиотека образуют базис в пространстве R3.

Следовательно, любой вектор Решение задания типа 1-10 - №53 - открытая онлайн библиотека этого пространства единственным образом можно представить в виде Решение задания типа 1-10 - №53 - открытая онлайн библиотека = Решение задания типа 1-10 - №65 - открытая онлайн библиотека , где Решение задания типа 1-10 - №66 - открытая онлайн библиотека - координаты вектора Решение задания типа 1-10 - №53 - открытая онлайн библиотека в базисе Решение задания типа 1-10 - №52 - открытая онлайн библиотека .

От векторного равенства перейдем к равенствам над соответствующими компонентами:

Решение задания типа 1-10 - №69 - открытая онлайн библиотека или Решение задания типа 1-10 - №70 - открытая онлайн библиотека

Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Решение задания типа 1-10 - №71 - открытая онлайн библиотека координаты вектора Решение задания типа 1-10 - №53 - открытая онлайн библиотека в новом базисе.

Решаем полученную систему методом Крамера, в соответствии с которым:

1) система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение, если Решение задания типа 1-10 - №73 - открытая онлайн библиотека - определитель третьего порядка, составленный из коэффициентов системы, не равен 0.

Решение задания типа 1-10 - №74 - открытая онлайн библиотека

2) неизвестные Решение задания типа 1-10 - №75 - открытая онлайн библиотека находим по формулам Крамера

Решение задания типа 1-10 - №76 - открытая онлайн библиотека ,

где Решение задания типа 1-10 - №77 - открытая онлайн библиотека - определители третьего порядка, составленные из определителя системы Решение задания типа 1-10 - №78 - открытая онлайн библиотека заменой коэффициентов, стоящих в системе перед Решение задания типа 1-10 - №75 - открытая онлайн библиотека , свободными членами соответственно:

Решение задания типа 1-10 - №80 - открытая онлайн библиотека

Решение задания типа 1-10 - №81 - открытая онлайн библиотека

Решение задания типа 1-10 - №82 - открытая онлайн библиотека

Тогда по формулам Крамера:

Решение задания типа 1-10 - №83 - открытая онлайн библиотека

Проверка.

Решение задания типа 1-10 - №84 - открытая онлайн библиотека

Получили тождества. Следовательно, система решена верно.

Ответ: 1) векторы Решение задания типа 1-10 - №85 - открытая онлайн библиотека образуют базис, 2) вектор Решение задания типа 1-10 - №86 - открытая онлайн библиотека в базисе Решение задания типа 1-10 - №87 - открытая онлайн библиотека имеет следующее разложение:

Решение задания типа 1-10 - №86 - открытая онлайн библиотека = Решение задания типа 1-10 - №89 - открытая онлайн библиотека .