Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса

Пусть дана система n уравнений с n неизвестными:

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №1 - открытая онлайн библиотека

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №2 - открытая онлайн библиотека

называется определителем системы.

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной и имеет единственное решение.

В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими системами.

Наиболее простым методом для решения таких систем линейных уравнений является метод Крамера.

Формулы Крамера имеют вид: Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №3 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №4 - открытая онлайн библиотека

Более универсальным и эффективным является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Решение осуществляется в два этапа: 1) система приводится к треугольному виду, 2) последовательно определяют неизвестные Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №5 - открытая онлайн библиотека .

Задача 1.

Решить систему уравнений методами Крамера и Гаусса:

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №6 - открытая онлайн библиотека

Решение:

а) Метод Крамера.

Найдем определитель системы Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №7 - открытая онлайн библиотека . Предварительно сложив второй столбец с третьим и разложив определитель по элементам последнего столбца.

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №8 - открытая онлайн библиотека = Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №9 - открытая онлайн библиотека =2(-1) Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №10 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №11 - открытая онлайн библиотека =-2(-2-3)=10 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №12 - открытая онлайн библиотека .

Так как Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №13 - открытая онлайн библиотека , то система имеет единственное решение.

Найдем определители Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №14 - открытая онлайн библиотека и Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №15 - открытая онлайн библиотека , заменив в матрице коэффициентов соответственно первый, второй, третий столбцы столбцом свободных членов (при вычислении определителя Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №16 - открытая онлайн библиотека выполним преобразования аналогичные предыдущим):

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №17 - открытая онлайн библиотека = Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №18 - открытая онлайн библиотека =2(-1) Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №19 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №20 - открытая онлайн библиотека -2(-1-4)=10.

При вычислении определителя Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №21 - открытая онлайн библиотека последнюю строку складываем с первой и вычитаем из второй строки. Разлагаем по элементам последнего столбца.

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №22 - открытая онлайн библиотека = Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №23 - открытая онлайн библиотека =1(-1) Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №24 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №25 - открытая онлайн библиотека =10+10=20.

При вычислении определителя Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №26 - открытая онлайн библиотека последнюю строку складываем с первой и со второй строки и разлагаем получившийся определитель по элементам второго столбца.

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №27 - открытая онлайн библиотека = Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №28 - открытая онлайн библиотека =-1(-1) Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №29 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №30 - открытая онлайн библиотека =50-20=30.

Подставляя найденные значения в формулы Крамера получим:

x = Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №31 - открытая онлайн библиотека у = Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №32 - открытая онлайн библиотека z = Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №33 - открытая онлайн библиотека

б) Метод Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы:

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №34 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №3 - открытая онлайн библиотека

Разрешающим элементом Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №36 - открытая онлайн библиотека удобно иметь единицу, поэтому переставим второе уравнение на место первого.

Получим нули в первом столбце, умножив первое уравнение последовательно на (-2) и (-3) и складывая со вторым и третьим.

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №37 - открытая онлайн библиотека (-2) (-3) Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №38 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №3 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №3 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №41 - открытая онлайн библиотека

С помощью второго элемента второй строки сделаем нуль во втором столбце третьей строки, для чего умножим вторую строку на (-2) и сложим с третьей.

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №42 - открытая онлайн библиотека (-2) Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №43 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №44 - открытая онлайн библиотека .

Таким образом, свели матрицу к треугольному виду. Запишем полученную систему уравнений:

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №45 - открытая онлайн библиотека

Из последнего уравнения сразу находим значение z=3, подставляя которое во второе уравнение находим у = 11-3z = 11-9 = 2. Затем из первого уравнения найдем

х = 1, у = 2, z = 3.

Разберите решение задачи 5 данного пособия.

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матричной форме и решить ее c помощью обратной матрицы:

x1- 2х2+x3=1

2x1+3х2 - x3=8

x1 - х2+2х3= -1 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №46 - открытая онлайн библиотека

Решение. Обозначим через А матрицу коэффициентов при неизвестных; Х - матрицу-столбец неизвестных Х1, X2, X3; H - матрицу-столбец свободных членов:

1 -2 1 X1 1

А= 2 3 -1 , Х= Х2 , H= 8 .

1 -1 2 X3 -1

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: A× Х=Н (l)

Если матрица А - невырожденная (ее определитель Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №47 - открытая онлайн библиотека отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения (1) на А-1 слева получим:

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №48 - открытая онлайн библиотека

Но Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №49 - открытая онлайн библиотека (Е - единичная матрица), а ЕХ=Х, Поэтому

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №50 - открытая онлайн библиотека (2)

Равенство (2) называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Пусть имеем невырожденную матрицу

а11 а12 а13 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №51 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №52 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №53 - открытая онлайн библиотека

А= а21 а22 а23 . Тогда А-1 = Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №54 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №55 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №56 - открытая онлайн библиотека

а31 а32 а33 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №57 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №58 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №59 - открытая онлайн библиотека

где Аij (i=1, 2, 3; j=l, 2, 3) - алгебраическое дополнение элемента аij в определителе матрицы А, которое является произведением (-l)i+j на минор (определитель) второго порядка, полученный вычерчиванием i-й строки и j-гo столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №47 - открытая онлайн библиотека и алгебраические дополнения Аij элементов матрицы А.

1 -2 1

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №47 - открытая онлайн библиотека = 2 3 -1 =10 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №62 - открытая онлайн библиотека 0, следовательно, матрица А имеет обратную матрицу А-1

1 -1 2

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №63 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №64 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №65 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №66 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №67 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №68 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №69 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №70 - открытая онлайн библиотека

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №71 - открытая онлайн библиотека

Тогда

5 3 -1 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №72 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №73 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №74 - открытая онлайн библиотека

А-1= Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №75 - открытая онлайн библиотека -5 1 3 = Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №76 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №77 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №78 - открытая онлайн библиотека

-5 -1 7 Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №79 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №80 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №81 - открытая онлайн библиотека

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №82 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №50 - открытая онлайн библиотека = Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №84 - открытая онлайн библиотека Решение систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса - №85 - открытая онлайн библиотека ×

Таким образом, Х = (3; 0; -2).

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

2. Назовите основные свойства определителей.

3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определите­ля?

4. Напишите формулы Крамера решения системы линейных уравнений. В каких случаях их можно использовать?

5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.

6. Что называется матрицей?

7. Как определяются основные действия над матрицами?

8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?

9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг матрицы?

10. Сформулируйте теорему Кронекера - Капелли.

11. Опишите матричный способ решения системы линейных уравнений.

12. Какова геометрическая интерпретация систем линейных уравнений и неравенств?