Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается АВ. Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита a, b, c ,…. Через BA обозначают вектор, направленный противоположно вектору АВ. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ō. Его направление является неопределенным.

Алгебраический подход

В линейной алгебре вектор - это элемент векторного пространства (или иначе: линейного пространства). Векторы можно складывать и умножать на число. Вектор также можно представить в виде линейной комбинации других векторов. Базис - это линейно независимая совокупность векторов, которая порождает всё пространство. В конечномерном пространстве существует конечный базис, и тогда любой вектор пространства может быть единственным образом представлен в виде разложения вида

Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №1 - открытая онлайн библиотекагде - Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №2 - открытая онлайн библиотекаэто базис, а - Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №3 - открытая онлайн библиотекакоординаты вектора Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №4 - открытая онлайн библиотекав заданном базисе.

Геометрический подход

Понятие вектор в геометрии отлично от определяемого в алгебре. Различают понятие свободного и связанного (приложенного, закреплённого) вектора.

Связанный вектор или направленный отрезок - упорядоченная пара точек евклидова пространства.

Свободный вектор - класс эквивалентности направленных отрезков.

При этом два направленных отрезка считаются эквивалентными, если они:

· коллинеарны

· равны по длине

· одинаково направлены (сонаправлены)

Векторное пространство Векторное пространство называют. n-мерным (или имеет «размерность n»), если в нём существуют n линейно независимых элементов Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №5 - открытая онлайн библиотека , Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №6 - открытая онлайн библиотека , ... Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №7 - открытая онлайн библиотека , а любые n+1 элементов линейно зависимы. Векторное пространство называют бесконечномерным, если в нём для любого натурального n существует n линейно независимых векторов. Любые n линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства образуют базис этого пространства. Если Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №5 - открытая онлайн библиотека , Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №6 - открытая онлайн библиотека , ... Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №7 - открытая онлайн библиотека - базис векторного пространства, то любой вектор x этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов:

x = Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №11 - открытая онлайн библиотека + Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №12 - открытая онлайн библиотека + ... + Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №13 - открытая онлайн библиотека .

При этом числа Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №14 - открытая онлайн библиотека , Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №15 - открытая онлайн библиотека , ..., Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №16 - открытая онлайн библиотека называют координатами вектора x в данном базисе.

Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

1) умножение вектора на число (Произведением вектора a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α a| =|α||a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α>0, и противоположно ему, если α< 0.

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

1. если Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №17 - открытая онлайн библиотека , то Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №18 - открытая онлайн библиотека . Наоборот, если Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №19 - открытая онлайн библиотека , то при некотором λ верно равенство Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №20 - открытая онлайн библиотека ;

2.всегда Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №21 - открытая онлайн библиотека °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на

2) cуммой Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №22 - открытая онлайн библиотека + Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №23 - открытая онлайн библиотека двух векторов Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №24 - открытая онлайн библиотека и Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №25 - открытая онлайн библиотека называется вектор Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №26 - открытая онлайн библиотека , который идет из начала вектора Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №22 - открытая онлайн библиотека в конец вектора Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №23 - открытая онлайн библиотека при условии, что вектор Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №23 - открытая онлайн библиотека приложен к концу вектора Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №22 - открытая онлайн библиотека (правило треугольника). В случае неколлинеарных векторов Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №22 - открытая онлайн библиотека и Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №23 - открытая онлайн библиотека можно вместо правила треугольника использовать правило параллелограмма: если векторы Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №22 - открытая онлайн библиотека и Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №23 - открытая онлайн библиотека отложены от общего начала и на них построен параллелограмм, то сумма Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №22 - открытая онлайн библиотека + Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №23 - открытая онлайн библиотека есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущего из общего начала Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №22 - открытая онлайн библиотека и Вектор. n-мерное векторное пространство. Линейные операции над векторами - №23 - открытая онлайн библиотека .