Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Цель работы: Написать программу для решения системы линейных уравнений методом Гаусса

Теоретические основы

Метод Гаусса основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Этот процесс называется прямым ходом метода Гаусса. Однако к такому виду приводится лишь невырожденная матрица. В противном случае метод Гаусса неприменим.

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №1 - открытая онлайн библиотека

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №2 - открытая онлайн библиотека

Приведение матрицы к треугольному виду описано в лабораторной работе №5.

Для исключения x1из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №3 - открытая онлайн библиотека

Тогда элементы модифицированной строки матрицы принимают значения:

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №4 - открытая онлайн библиотека

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №5 - открытая онлайн библиотека

После всех преобразований матрица, описывающая систему уравнений примет вид:

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №6 - открытая онлайн библиотека

Вычисление переменных xi производится по следующей схеме: вычислив xn

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №7 - открытая онлайн библиотека

подставляем его значение в предыдущее уравнение и определяем xn1

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №8 - открытая онлайн библиотека

Подстановкой вновь вычисленных переменных в предыдущие уравнения находим все значения переменных.

Задание

Написать программу решения системы уравнений методом Гаусса, состоящей из n уравнений (n – задается преподавателем).

Пример для самопроверки:

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №9 - открытая онлайн библиотека

Ответ: Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №10 - открытая онлайн библиотека

Контрольные вопросы

Лабораторная работа №7
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ¦(x)=0

Цель работы: Написать программу для решения уравнений вида ¦(x)=0 итерационными методами

Теоретические основы

Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида f(x)=0 встречается в различных областях научных исследований (здесь f(х) – некоторая непрерывная функция.) Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итерационные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако встречающиеся на практике уравнения не удается решить такими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т. е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов: а) отыскания приближенного значения корня или содержащего его отрезка; б) уточнения приближенного значения до некоторой заданной степени точности.

Приближенное значение корня (начальное приближение) может быть найдено различными способами: из физических соображений, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, с помощью графических методов. Если такие априорные оценки исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки а и b, в которых непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков, т. е. f(a)f(b)<0, В этом случае между точками а и b есть по крайней мере одна точка, в которой f(x)=0. В качестве начального приближения х0 можно принять середину отрезка [а, b], т. е. Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №11 - открытая онлайн библиотека .

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня х1, х2, ..., хn. Если эти значения с ростом n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Ниже рассматриваются некоторые итерационные методы решения трансцендентных уравнений.

Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)

Это один из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений. Он состоит в следующем. Допустим, что удалось найти отрезок [а, b], в котором расположено искомое значение корня х = с, т. е. Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №12 - открытая онлайн библиотека . В качестве начального приближения корня с0 принимаем середину этого отрезка, т. е. Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №13 - открытая онлайн библиотека . Далее исследуем значения функции f(х) на концах отрезков [а, c0] и [c0, b], т. е. в точках а, c0, b. Тот из них, на концах которого f(х) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка. Вторую половину отрезка [а, b], на которой знак f(х) не меняется, отбрасываем. В качестве первой итерации корня принимаем середину нового отрезка и т. д. Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, т. е. после n итераций он сокращается в 2n раз.

Пусть для определенности Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №14 - открытая онлайн библиотека (рис. 1). В качестве начального приближения корня примем Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №13 - открытая онлайн библиотека . Поскольку в рассматриваемом случае f(c0)<0, то Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №16 - открытая онлайн библиотека , и рассматриваем только отрезок [c0, b]. Следующее приближение: Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №17 - открытая онлайн библиотека . При этом отрезок [c1, b] отбрасываем, поскольку Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №18 - открытая онлайн библиотека и Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №19 - открытая онлайн библиотека т. е. Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №20 - открытая онлайн библиотека . Аналогично находим другие приближения Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №21 - открытая онлайн библиотека и т.д.

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №22 - открытая онлайн библиотека

Рисунок 1 – Метод деления отрезка пополам

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции f(x) после n–й итерации не станет меньшим по модулю некоторого заданного малого числа е, т. е. Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №23 - открытая онлайн библиотека . Можно также оценивать длину полученного отрезка: если она становится меньше допустимой погрешности, то счет прекращается.

Метод деления отрезка пополам довольно медленный, однако он всегда сходится, т. е. при его использовании решение получается всегда, причем с заданной точностью.

Метод простой итерации

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывается в виде:

x = f(x) (1)

Пусть известно начальное приближение корня Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №24 - открытая онлайн библиотека . Подставляя это значение в правую часть уравнения (1), получаем новое приближение:

Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №25 - открытая онлайн библиотека

Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в (1), получаем последовательность значений Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №26 - открытая онлайн библиотека

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки: Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №27 - открытая онлайн библиотека . Достаточным условием сходимости метода простой итерации является условие Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №28 - открытая онлайн библиотека .

Метод Ньютона

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения f(x)=0, то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Метод состоит в построении итерационной последовательности Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №29 - открытая онлайн библиотека , сходящейся к корню уравнения f(x)=0.

Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

Пусть f(x)=0 определена и дважды дифференцируема на [a,b], причем Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №30 - открытая онлайн библиотека , а производные Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №31 - открытая онлайн библиотека сохраняют знак на этом отрезке. Тогда, исходя из начального приближения Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №32 - открытая онлайн библиотека , удовлетворяющего неравенству Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №33 - открытая онлайн библиотека ,можно построить последовательность Лабораторная работа №6 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА - №34 - открытая онлайн библиотека , сходящуюся к единственному решению уравнения f(x)=0.

Метод Ньютона эффективен, если известно хорошее начальное приближение для корня, и в окрестности корня график функции имеет большую крутизну. В этом случае процесс быстро сходится. Если же численное значение первой производной вблизи корня мало, то процесс вычисления корня может быть очень долгим.

Задание

Написать программу для решения уравнений вида ¦(x)=0 итерационными методами

Контрольные вопросы