Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №1 - открытая онлайн библиотека Так же, как и в действительном анализе, для функций комплексного переменного вводится понятие производной. Однако здесь это понятие более глубокое, чем в действительном анализе. Например, всякая линейная действительная функция дифференцируема в любой точке. Для комплексных функций это не так. Например, функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №2 - открытая онлайн библиотека нигде не дифференцируема. Перейдём к изучению этого понятия.

Пусть функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №3 - открытая онлайн библиотека определена в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №4 - открытая онлайн библиотека и некоторой ее окрестности Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №5 - открытая онлайн библиотека . Сместимся из точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №6 - открытая онлайн библиотека в точку Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №7 - открытая онлайн библиотека Тогда аргумент функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №8 - открытая онлайн библиотека получит приращение Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №9 - открытая онлайн библиотека , а сама функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №10 - открытая онлайн библиотека – приращение Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №11 - открытая онлайн библиотека

Определение 1. Если существует конечный предел

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №12 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №13 - открытая онлайн библиотека

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №14 - открытая онлайн библиотека

то его называют производной функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №15 - открытая онлайн библиотека в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №16 - открытая онлайн библиотека и обозначают Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №17 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №18 - открытая онлайн библиотека

С понятием производной тесно связано понятие дифференцируемости функции в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №19 - открытая онлайн библиотека функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №20 - открытая онлайн библиотека называется дифференцируемой в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №21 - открытая онлайн библиотека если её приращение в этой точке представляется в виде

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №22 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №23 - открытая онлайн библиотека

где Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №24 - открытая онлайн библиотека постоянная, не зависящая от Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №25 - открытая онлайн библиотека При этом величина Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №26 - открытая онлайн библиотека называется дифференциалом функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №27 - открытая онлайн библиотека в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №28 - открытая онлайн библиотека и обозначается Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №29 - открытая онлайн библиотека Разделив обе части равенства (2) на Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №30 - открытая онлайн библиотека будем иметь Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №31 - открытая онлайн библиотека Последнее равенство означает, что существует предел (1), т.е. что существует производная Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №32 - открытая онлайн библиотека и что она равна Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №33 - открытая онлайн библиотека Таким образом, дифференцируемость функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №34 - открытая онлайн библиотека в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №35 - открытая онлайн библиотека эквивалентна существованию производной Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №36 - открытая онлайн библиотека . При этом Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №37 - открытая онлайн библиотека и значит,

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №38 - открытая онлайн библиотека

Как уже отмечалось выше, не любая (даже очень простая) функция дифференцируема в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №39 - открытая онлайн библиотека Для этого её мнимая и действительные части должны быть определенным образом подчинены друг другу в следующем смысле.

Теорема Коши-Римана. Для того чтобы функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №40 - открытая онлайн библиотека была дифференцируема в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №41 - открытая онлайн библиотека необходимо и достаточно, чтобы в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №42 - открытая онлайн библиотека её действительная и мнимая части были дифференцируемы (как функции действительных переменных) и чтобы в этой точке имели место равенства

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №43 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №44 - открытая онлайн библиотека

(равенства (3) называются условиями Коши-Римана).

Доказательство. Пусть функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №45 - открытая онлайн библиотека дифференцируема в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №46 - открытая онлайн библиотека Тогда имеет место асимптотическое разложение (2). Запишем его более подробно:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №47 - открытая онлайн библиотека

где Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №48 - открытая онлайн библиотека (очевидно, что Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №49 - открытая онлайн библиотека ) Отделяя здесь мнимые и действительные части, получим

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №50 - открытая онлайн библиотека

Эти равенства означают, во-первых, что функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №51 - открытая онлайн библиотека дифференцируемы как функции действительных переменных Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №52 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №53 - открытая онлайн библиотека в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №54 - открытая онлайн библиотека и, во-вторых,что имеют место равенства

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №55 - открытая онлайн библиотека в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №56 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, если функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №57 - открытая онлайн библиотека дифференцируема в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №58 - открытая онлайн библиотека то имеют место условия Коши-Римана (3). Рассуждая обратным ходом, покажем, что при выполнении условий (3) функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №59 - открытая онлайн библиотека будет дифференцируемой в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №60 - открытая онлайн библиотека Теорема доказана.

Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что если Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №61 - открытая онлайн библиотека дифференцируема в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №62 - открытая онлайн библиотека то ее производную в этой точке можно вычислять по формуле Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №63 - открытая онлайн библиотека или по формуле Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №64 - открытая онлайн библиотека .

Пример 1.Проверить, будет ли функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №65 - открытая онлайн библиотека дифференцируемой. Если да, то найти её производную.

Решение.Выделим сначала в Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №66 - открытая онлайн библиотека мнимую и действительные части:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №67 - открытая онлайн библиотека

Теперь проверим условия Коши-Римана. Имеем

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №68 - открытая онлайн библиотека

значит, условия (3) Коши-Римана выполняются для всех Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №69 - открытая онлайн библиотека Следовательно, функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №70 - открытая онлайн библиотека дифференцируема в любой точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №71 - открытая онлайн библиотека Её производную находим по формуле

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №72 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, как и ожидалось, мы получили, что Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №73 - открытая онлайн библиотека Забегая вперёд, отметим, что производные всех элементарных однозначных комплексных функций находятся по тем же правилам, что и производные действительных функций. Например,

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №74 - открытая онлайн библиотека

То же замечание справедливо и для отдельных ветвей многозначных функций. Например,

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №75 - открытая онлайн библиотека

Введём теперь следующее важное понятие.

Определение 2.Функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №76 - открытая онлайн библиотека называется аналитической в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №77 - открытая онлайн библиотека если она дифференцируема как в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №78 - открытая онлайн библиотека так и в некоторой её окрестности.

Аналитичность функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №79 - открытая онлайн библиотека в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №80 - открытая онлайн библиотека равносильна тому, что Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №81 - открытая онлайн библиотека удовлетворяет условиям Коши-Римана (3) в некоторой окрестности точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №82 - открытая онлайн библиотека (включая и саму точку Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №83 - открытая онлайн библиотека

Определение 3.Функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №84 - открытая онлайн библиотека называется аналитической (регулярной, голоморфной) в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №85 - открытая онлайн библиотека если она аналитична в любой точке этой области.

Заметим, что действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа: Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №86 - открытая онлайн библиотека Это непосредственно вытекает из условий Коши-Римана. Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.

Пример 2.Является ли функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №87 - открытая онлайн библиотека аналитической хотя бы в одной точке?

Решение.Так как Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №88 - открытая онлайн библиотека , то Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №89 - открытая онлайн библиотека , Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №90 - открытая онлайн библиотека . Условия Коши–Римана имеют вид: Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №91 - открытая онлайн библиотека , Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №92 - открытая онлайн библиотека и выполняются только в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №93 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №94 - открытая онлайн библиотека дифференцируема только в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №95 - открытая онлайн библиотека и нигде не аналитична. По определению (44) запишем: Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №96 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, производная Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №97 - открытая онлайн библиотека существует и равна нулю.

Так как мнимая и действительная части аналитической функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №98 - открытая онлайн библиотека связаны условиями Коши-Римана (3), то Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №99 - открытая онлайн библиотека определяется (с точностью до постоянного слагаемого) либо своей действительной, либо мнимой частью. Покажем это на примере.

Пример 3.Найти аналитическую функцию, если известна ее мнимая часть Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №100 - открытая онлайн библиотека при дополнительном условии Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №101 - открытая онлайн библиотека .

Решение.Так как Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №102 - открытая онлайн библиотека , то из условий Коши-Римана (3) находим производные действительной части:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №103 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №104 - открытая онлайн библиотека

Решив первое из этих уравнений, находим Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №105 - открытая онлайн библиотека , где Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №106 - открытая онлайн библиотека – произвольная функция переменной Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №107 - открытая онлайн библиотека . Для определения Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №108 - открытая онлайн библиотека дифференцируем Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №109 - открытая онлайн библиотека по Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №110 - открытая онлайн библиотека и подставляем в (2): Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №111 - открытая онлайн библиотека , откуда Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №112 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №113 - открытая онлайн библиотека . Следовательно, Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №114 - открытая онлайн библиотека и окончательно получим:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №115 - открытая онлайн библиотека

т.е. действительная часть восстанавливается с точностью до постоянного слагаемого. Условие Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №116 - открытая онлайн библиотека позволяет найти эту постоянную однозначно: Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №117 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №118 - открытая онлайн библиотека . Таким образом, Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №119 - открытая онлайн библиотека .

Имеют место следующие утверждения.

1. Степенная функция с натуральным показателем Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №120 - открытая онлайн библиотека аналитична во всей комплексной плоскости Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №121 - открытая онлайн библиотека причем Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №122 - открытая онлайн библиотека

2. Каждая ветвь Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №123 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №124 - открытая онлайн библиотека функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №125 - открытая онлайн библиотека аналитична в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №126 - открытая онлайн библиотека причем Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №127 - открытая онлайн библиотека

3. Комплексная экспонента Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №128 - открытая онлайн библиотека аналитична во всей плоскости Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №129 - открытая онлайн библиотека причем Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №130 - открытая онлайн библиотека

4. Комплексные тригонометрические функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №131 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №132 - открытая онлайн библиотека аналитичны во всей плоскости Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №133 - открытая онлайн библиотека причем Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №134 - открытая онлайн библиотека То же утверждение имеет место и для гиперболических функций, причем Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №135 - открытая онлайн библиотека

5. Каждая ветвь Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №136 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №137 - открытая онлайн библиотека логарифмической функции аналитична в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №138 - открытая онлайн библиотека причем

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №139 - открытая онлайн библиотека

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №140 - открытая онлайн библиотека

Все эти утверждения проверяются с помощью соотношений Коши-Римана.

2. Геометрический смысл модуля и аргумента производной

Пусть функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №141 - открытая онлайн библиотека дифференцируема в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №142 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №143 - открытая онлайн библиотека При отображении Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №144 - открытая онлайн библиотека вектор Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №145 - открытая онлайн библиотека исходящий из точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №146 - открытая онлайн библиотека переходит в

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №147 - открытая онлайн библиотека

Рис. 8

бесконечно малый вектор Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №148 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №149 - открытая онлайн библиотека исходящий из точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №150 - открытая онлайн библиотека а гладкая кривая Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №151 - открытая онлайн библиотека переходит в гладкую кривую Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №152 - открытая онлайн библиотека (см. рис. 8). Поскольку Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №153 - открытая онлайн библиотека то выполняются одновременно следующие соотношения:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №154 - открытая онлайн библиотека

Отсюда следует, что с точностью до Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №155 - открытая онлайн библиотека выполняются равенства

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №156 - открытая онлайн библиотека

Эти равенства позволяют сделать следующие выводы (геометрический смысл модуля и аргумента производной ):

а) модуль Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №157 - открытая онлайн библиотека равен коэффициенту растяжения (сжатия) бесконечно малого вектора Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №158 - открытая онлайн библиотека исходящего из точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №159 - открытая онлайн библиотека при отображении Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №160 - открытая онлайн библиотека

б) аргумент Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №161 - открытая онлайн библиотека равен углу поворота Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №162 - открытая онлайн библиотека бесконечно малого вектора Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №163 - открытая онлайн библиотека исходящего из точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №164 - открытая онлайн библиотека при отображении Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №165 - открытая онлайн библиотека

Эти утверждения верны для произвольного бесконечно малого вектора Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №166 - открытая онлайн библиотека исходящего из точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №167 - открытая онлайн библиотека причем утверждение б) будет верно для любых гладких кривых Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №168 - открытая онлайн библиотека исходящих из точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №169 - открытая онлайн библиотека (в этом случае вектор Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №170 - открытая онлайн библиотека касается кривой Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №171 - открытая онлайн библиотека в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №172 - открытая онлайн библиотека ). Если Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №173 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №174 - открытая онлайн библиотека две гладкие кривые, исходящие из точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №175 - открытая онлайн библиотека то из утверждения б) следует, что при отображении Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №176 - открытая онлайн библиотека они развернутся на один и тот же угол, т.е. угол между кривыми Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №177 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №178 - открытая онлайн библиотека при отображении Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №179 - открытая онлайн библиотека сохраняется. Более того, сохраняется и направление этого угла. Исходя из сказанного, вводят следующее понятие.

Определение 4. Отображение Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №180 - открытая онлайн библиотека окрестности Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №181 - открытая онлайн библиотека точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №182 - открытая онлайн библиотека на окрестность Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №183 - открытая онлайн библиотека точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №184 - открытая онлайн библиотека называется конформным, если оно обладает постоянством растяжения (сжатия) бесконечно малых элементов Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №185 - открытая онлайн библиотека и сохранением углов и их направлением между любыми двумя гладкими кривыми Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №186 - открытая онлайн библиотека Отображение Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №187 - открытая онлайн библиотека называется конформным в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №188 - открытая онлайн библиотека , если оно конформно в каждой точке области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №189 - открытая онлайн библиотека и если функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №190 - открытая онлайн библиотека является аналитической и однолистной в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №191 - открытая онлайн библиотека .

Теорема 2. Пусть функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №192 - открытая онлайн библиотека – однолистная и аналитическая в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №193 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №194 - открытая онлайн библиотека в каждой точке области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №195 - открытая онлайн библиотека . Тогда отображение Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №196 - открытая онлайн библиотека будет конформным в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №197 - открытая онлайн библиотека .

Доказательство этого утверждения вытекает из геометрического смысла производной и ее аргумента. Например, главная ветвь логарифма Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №198 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №199 - открытая онлайн библиотека является конформным отображением области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №200 - открытая онлайн библиотека на область Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №201 - открытая онлайн библиотека Конформные отображения играют важную роль в прикладных науках. Однако подробное их изучение в нашем курсе не позволяет дефицит времени. Читателю, заинтересованному в более детальном ознакомлении с теорией конформных отображений, рекомендуем книгу Б.А. Фукса и Б.В. Шабата ``Функции комплексного переменного и некоторые их приложения'' (ГИФМЛ, Москва, 1959) .

======================================================

Лекция 8 . Интеграл от функции комплексного переменного. Теорема Коши и для односвязной и многосвязной областей. Интегральная формула Коши. Существование всех производных для аналитической функции

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №1 - открытая онлайн библиотека Везде ниже, если не оговорено противное, функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №204 - открытая онлайн библиотека предполагается однозначной в своей области определения. Пусть в плоскости Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №205 - открытая онлайн библиотека задана некоторая ориентированная кривая Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №206 - открытая онлайн библиотека ( Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №207 - открытая онлайн библиотека начало, Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №208 - открытая онлайн библиотека конец). Каждой точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №209 - открытая онлайн библиотека плоскости Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №210 - открытая онлайн библиотека соответствует единственное комплексное число Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №211 - открытая онлайн библиотека (и обратно), поэтому будем отождествлять точку Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №212 - открытая онлайн библиотека и соответствующее комплексное число Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №213 - открытая онлайн библиотека и будем писать Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №214 - открытая онлайн библиотека Пусть функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №215 - открытая онлайн библиотека определена на кривой Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №216 - открытая онлайн библиотека . Разобъём кривую Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №217 - открытая онлайн библиотека на частичные дуги Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №218 - открытая онлайн библиотека точками Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №219 - открытая онлайн библиотека в направлении ориентации кривой:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №220 - открытая онлайн библиотека

Возьмём произвольно точку Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №221 - открытая онлайн библиотека и составим интегральную сумму Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №222 - открытая онлайн библиотека Обозначим Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №223 - открытая онлайн библиотека диаметр разбиения Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №224 - открытая онлайн библиотека .

Определение 5.Если существует конечный предел интегральных сумм:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №225 - открытая онлайн библиотека

и он не зависит от вида разбиения Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №226 - открытая онлайн библиотека и выбора точек Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №227 - открытая онлайн библиотека , то его называют интегралом от функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №228 - открытая онлайн библиотека вдоль кривой (дуги) Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №229 - открытая онлайн библиотека и обозначают Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №230 - открытая онлайн библиотека При этом функцию Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №231 - открытая онлайн библиотека называется интегрируемой на кривой Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №232 - открытая онлайн библиотека .

Сразу же отметим свойство ориентированности этого интеграла:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №233 - открытая онлайн библиотека

которое вытекает из того, что при ориентации кривой от Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №234 - открытая онлайн библиотека до Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №235 - открытая онлайн библиотека вектор Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №236 - открытая онлайн библиотека заменяется на вектор Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №237 - открытая онлайн библиотека Кроме того, интеграл от комплексной функции, очевидно, обладает свойствами линейности и аддитивности, которые мы не выписываем. Следующее утверждение позволяет свести комплексный интеграл к двум действительным криволинейным интегралам.

Теорема 3. Пусть ограниченная дуга Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №238 - открытая онлайн библиотека кусочно-гладка и лежит в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №239 - открытая онлайн библиотека определения функии Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №240 - открытая онлайн библиотека . Пусть, кроме того, Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №241 - открытая онлайн библиотека непрерывна на дуге Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №242 - открытая онлайн библиотека . Тогда имеет место равенство

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №243 - открытая онлайн библиотека

Доказательство. Преобразуем в интегральной сумме (5) слагаемое Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №244 - открытая онлайн библиотека :

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №245 - открытая онлайн библиотека

Тогда интегральная сумма в равенсте (5) примет вид

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №246 - открытая онлайн библиотека

Здесь действительная часть является интегральной суммой для криволинейного интеграла Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №247 - открытая онлайн библиотека , а мнимая часть – интегральной суммой для криволинейного интеграла Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №248 - открытая онлайн библиотека . Так как функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №249 - открытая онлайн библиотека непрерывна на дуге Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №250 - открытая онлайн библиотека то на этой дуге непрерывны ее действительная часть Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №251 - открытая онлайн библиотека и мнимая часть Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №252 - открытая онлайн библиотека поэтому указанные криволинейные действительные интегралы существуют. Переходя к пределу в равенстве (7) при Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №253 - открытая онлайн библиотека получаем равенство (6). Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекают свойства линейности, аддитивности и другие свойства комплексного интеграла. В частности, справедлива теорема об оценке интеграла.

Теорема 4.Если функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №254 - открытая онлайн библиотека непрерывна на кусочно-гладкой ограниченной кривой Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №255 - открытая онлайн библиотека то имеет место неравенство

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №256 - открытая онлайн библиотека

где Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №257 - открытая онлайн библиотека – длина дуги.

Из теоремы 3 вытекает также следующее утверждение.

Теорема 5.Пусть дуга Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №258 - открытая онлайн библиотеказадана параметрически уравнением

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №259 - открытая онлайн библиотека

причем функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №260 - открытая онлайн библиотека непрерывна на отрезке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №261 - открытая онлайн библиотека и дуга Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №262 - открытая онлайн библиотекаориентирована по возрастанию параметра Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №263 - открытая онлайн библиотека (т.е. Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №264 - открытая онлайн библиотека – начало, Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №265 - открытая онлайн библиотека конец дуги Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №266 - открытая онлайн библиотека ). Пусть, кроме того, функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №267 - открытая онлайн библиотека непрерывна на дуге Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №268 - открытая онлайн библиотека .Тогда имеет место равенство

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №269 - открытая онлайн библиотека

В качестве примера вычислим имеющий широкое применение в дальнейшей теории интеграл Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №270 - открытая онлайн библиотека Покажем, что

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №271 - открытая онлайн библиотека

Имеем Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №272 - открытая онлайн библиотека

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №273 - открытая онлайн библиотека

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №274 - открытая онлайн библиотека

Если Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №275 - открытая онлайн библиотека то Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №276 - открытая онлайн библиотека Если Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №277 - открытая онлайн библиотека то

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №278 - открытая онлайн библиотека

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №279 - открытая онлайн библиотека

Равенство Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №280 - открытая онлайн библиотека доказано.

2.2. Теорема Коши для односвязной области и многосвязной области. Интегральная формула Коши

Напомним, что множество Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №283 - открытая онлайн библиотека называется односвязным, если любой замкнутый контур, лежащий в Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №284 - открытая онлайн библиотека можно стянуть в точку, не выходя из Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №285 - открытая онлайн библиотека . Множество Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №286 - открытая онлайн библиотека называется Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №287 - открытая онлайн библиотека связным, если его граница Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №288 - открытая онлайн библиотека состоит из Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №289 - открытая онлайн библиотека попарно не пересекающихся между собой замкнутых контуров.

Например, на рисунке A изображена односвязная область, на рисунке B – 4-связная область (одна внешняя граница и три внутренних границ). При этом будем говорить, что направление на границе Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №290 - открытая онлайн библиотека является положительным ( Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №291 - открытая онлайн библиотека – положительно ориентирована), если при её обходе область Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №292 - открытая онлайн библиотека остаётся слева. Например, на рисунке C граница двухсвязной области положительно ориентирована. Ориентация, противоположная положительной, называется отрицательной.

Теорема Коши для односвязной области.Пусть область Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №293 - открытая онлайн библиотека односвязная и функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №294 - открытая онлайн библиотека аналитична в Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №295 - открытая онлайн библиотека Тогда каков бы ни был кусочно-гладкий замкнутый контур Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №296 - открытая онлайн библиотека лежащий внутри Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №297 - открытая онлайн библиотека интеграл от Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №298 - открытая онлайн библиотека по Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №299 - открытая онлайн библиотека равен нулю.

Доказательство.Вычислим интеграл

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №300 - открытая онлайн библиотека

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №301 - открытая онлайн библиотека

Воспользуемся формулой Грина:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №302 - открытая онлайн библиотека

где Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №303 - открытая онлайн библиотека область, охватываемая контуром Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №304 - открытая онлайн библиотека Будем иметь

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №305 - открытая онлайн библиотека

(здесь в квадратных скобках выписаны условия Коши-Римана, которые выполняются, так как функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №306 - открытая онлайн библиотека аналитична в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №307 - открытая онлайн библиотека ). Теорема доказана.

Теорема Коши для многосвязной области.Пусть область Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №308 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №309 - открытая онлайн библиотека связна,причем Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №310 - открытая онлайн библиотека её внешняя граница, а Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №311 - открытая онлайн библиотека её внутренние границы, обходимые все против часовой стрелки. Пусть функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №312 - открытая онлайн библиотека аналитична в Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №313 - открытая онлайн библиотека Тогда имеет место равенство

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №314 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №315 - открытая онлайн библиотека

Доказательствопроведём для двухсвязной области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №316 - открытая онлайн библиотека Сделаем разрез Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №317 - открытая онлайн библиотека соединяющий внутреннюю и внешнюю границы Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №318 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №319 - открытая онлайн библиотека Тогда область Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №320 - открытая онлайн библиотека будет односвязной, а замкнутый контур Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №321 - открытая онлайн библиотека лежит в Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №322 - открытая онлайн библиотека Значит, для этого контура справедлива предыдущая теорема: Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №323 - открытая онлайн библиотека Применяя свойство аддитивности интеграла, будем иметь

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №324 - открытая онлайн библиотека

Рис. 10 Учитывая, что Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №325 - открытая онлайн библиотека приходим к равенству

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №326 - открытая онлайн библиотека

Остаётся учесть что здесь контуры Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №327 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №328 - открытая онлайн библиотека обходятся против часовой стрелки. Теорема доказана.

И, наконец, сформулируем без доказательство следующее важное утверждение.

Интегральная теорема Коши. Пусть функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №329 - открытая онлайн библиотека аналитична в односвязной области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №330 - открытая онлайн библиотека Тогда какова бы ни была точка Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №331 - открытая онлайн библиотека лежащая внутри области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №332 - открытая онлайн библиотека и замкнутый кусочно-гладкий контур Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №333 - открытая онлайн библиотека , охватывающий точку Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №334 - открытая онлайн библиотека и обходимый против часовой стрелки, справедлива интегральная формула Коши

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №335 - открытая онлайн библиотека

При этом функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №336 - открытая онлайн библиотека имеет всюду в Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №337 - открытая онлайн библиотека производные любого порядка, для которых справедлива формула

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №338 - открытая онлайн библиотека

Замечание. Если функция аналитична в замкнутой ограниченной области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №339 - открытая онлайн библиотека с кусочно гладкой границей Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №340 - открытая онлайн библиотека то в качестве контура Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №341 - открытая онлайн библиотека в (6) можно взять границу Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №342 - открытая онлайн библиотека Тогда из (5) вытекает, что аналитическая в Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №343 - открытая онлайн библиотека функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №344 - открытая онлайн библиотека полностью определяется своими значениями на границе Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №345 - открытая онлайн библиотека Таким свойством действительные функции не обладают.

Интегральная формула Коши имеет многочисленные применения, о которых будет сказано в дальнейшим. Рассмотрим несколько примеров[i].

Пример 1.Вычислить Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №346 - открытая онлайн библиотека

Решение. Внутри окружности Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №347 - открытая онлайн библиотека знаменатель дроби обращается в нуль в точке Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №348 - открытая онлайн библиотека . Для удобства применения формулы (5) перепишем интеграл в виде

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №349 - открытая онлайн библиотека

Здесь Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №350 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №351 - открытая онлайн библиотека аналитична в круге Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №352 - открытая онлайн библиотека . Тогда Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №353 - открытая онлайн библиотека .

Пример 2.Вычислить Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №354 - открытая онлайн библиотека : по

а) контуру Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №355 - открытая онлайн библиотека ; б) Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №356 - открытая онлайн библиотека .

Решение.а) В круге Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №357 - открытая онлайн библиотека функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №358 - открытая онлайн библиотека аналитична. Следовательно, по теореме Коши для односвязной области получаем, что Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №359 - открытая онлайн библиотека .

Рис. 11

б) Так как внутри контура интегрирования знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в точках Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №361 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №362 - открытая онлайн библиотека , то для того, чтобы стало возможным применить формулу (5), рассмотрим многосвязную область Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №363 - открытая онлайн библиотека (рис. 11), ограниченную окружностью Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №364 - открытая онлайн библиотека и внутренними контурами Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №365 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №366 - открытая онлайн библиотека Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №367 - открытая онлайн библиотека .

Тогда в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №368 - открытая онлайн библиотека функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №369 - открытая онлайн библиотека является аналитической, и по теореме Коши для многосвязной области можно записать:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №370 - открытая онлайн библиотека

Для вычисления интегралов справа применим формулу (5):

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №371 - открытая онлайн библиотека

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №372 - открытая онлайн библиотека

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №373 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №374 - открытая онлайн библиотека .

3. Первообразная функции комплексных переменных

Функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №375 - открытая онлайн библиотека называется первообразной функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №376 - открытая онлайн библиотека в области в области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №377 - открытая онлайн библиотека если Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №378 - открытая онлайн библиотека дифференцируема в Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №379 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №380 - открытая онлайн библиотека

Из теоремы Коши для односвязной области следует, что интеграл Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №381 - открытая онлайн библиотека не зависит от формы пути Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №382 - открытая онлайн библиотека Поэтому можно сформулировать следующее утверждение.

Теорема 1.Если однозначная функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №383 - открытая онлайн библиотека дифференцируема в односвязной области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №384 - открытая онлайн библиотека то она имеет первообразную в этой области. Одной из первообразных является интеграл Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №385 - открытая онлайн библиотека где Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №386 - открытая онлайн библиотека любой кусочно-гладкий путь, соединяющий фиксированную точку Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №387 - открытая онлайн библиотека с текущей точкой Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №388 - открытая онлайн библиотека . Все остальные первообразные имеют вид Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №389 - открытая онлайн библиотека где Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №390 - открытая онлайн библиотека произвольная комплексная постоянная.

Доказательство этой теоремы проводится так же, как и в действительном анализе. Используя эту теорему, нетрудно доказать следующие утверждения.

1. Если функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №391 - открытая онлайн библиотека аналитична в односвязной области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №392 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №393 - открытая онлайн библиотека её первообразная в Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №394 - открытая онлайн библиотека , то справедлива формула Ньютона-Лейбница

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №395 - открытая онлайн библиотека

2. Если функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №396 - открытая онлайн библиотека аналитична в односвязной области Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №397 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №398 - открытая онлайн библиотека её первообразная в Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №399 - открытая онлайн библиотека , то справедлива формула интегрирования по частям

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №400 - открытая онлайн библиотека

Замена переменных в интегралах от функции комплексного переменного аналогична случаю функции действительного переменного. Пусть аналитическая функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №401 - открытая онлайн библиотека отображает взаимно однозначно кусочно-гладкий контур Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №402 - открытая онлайн библиотека в плоскости Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №403 - открытая онлайн библиотека на контур Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №404 - открытая онлайн библиотека в плоскости Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №405 - открытая онлайн библиотека . Тогда

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №406 - открытая онлайн библиотека

Замечание 2.Интегралы от элементарных однозначных функций в односвязных областях вычисляются по тем же формулам, что и в действительном анализе. Если же область Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №407 - открытая онлайн библиотека неодносвязна, то это правило может нарушаться. Для вычисления интеграла от многозначной функции указывается, какая именно однозначная ветвь ее берется (см. ниже пример 7). Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования. Если контур интегрирования Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №408 - открытая онлайн библиотека замкнут, то начальной точкой Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №409 - открытая онлайн библиотека пути интегрирования считается та, в которой задано значение подынтегральной функции. Рассмотрим примеры.

Пример 3.Вычислить Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №410 - открытая онлайн библиотека по кривой Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №411 - открытая онлайн библиотека , соединяющей точки Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №412 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Для параболы Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №413 - открытая онлайн библиотека имеем Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №414 - открытая онлайн библиотека , Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №415 - открытая онлайн библиотека . По теореме 1 предыдущей лекции имеем

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №416 - открытая онлайн библиотека

Пример 4.Вычислить Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №417 - открытая онлайн библиотека , где Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №418 - открытая онлайн библиотека – дуга окружности Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №419 - открытая онлайн библиотека , Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №420 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Положим Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №421 - открытая онлайн библиотека , Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №422 - открытая онлайн библиотека . Тогда Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №423 - открытая онлайн библиотека , и по формуле (49) находим:

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №424 - открытая онлайн библиотека

Пример 5.Вычислить Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №425 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Так как подынтегральная функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №426 - открытая онлайн библиотека аналитична всюду, то по формуле (7) вычисляем: Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №427 - открытая онлайн библиотека .

Пример 6. Вычислить Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №428 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Функции Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №429 - открытая онлайн библиотека и Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №430 - открытая онлайн библиотека аналитичны всюду. По теореме 3 предыдущей лекции получаем, что

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №431 - открытая онлайн библиотека

Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №432 - открытая онлайн библиотека

Пример 7. Вычислить Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №433 - открытая онлайн библиотека , Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №434 - открытая онлайн библиотека .

Решение. Функция Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №435 - открытая онлайн библиотека является многозначной: Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №436 - открытая онлайн библиотека , Лекция 7. Производная функции комплексного переменного. Аналитичность функции в точке и в области. Условия Коши-Римана. Элементарные аналитические функции - №437 - открытая онлайн библиотека ;

Рекомендуемые статьи

Дифф-ие ф-ии комплексного переменного. Аналитические функции

Лекция 6. Комплексные числа и действия над ними. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность. Элементарные функции комплексного переменного и действия над ними

Производная функции комплексного переменного

Производная функции комплексного переменного

Элементарные функции комплексного переменного

Элементарные функции комплексного переменного

Основные элементарные функции комплексного переменного