Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия

Совокупность двух или более дифференциальных уравнений называется системой дифференциальных уравнений. Примеры таких систем приводились в лекции 1. Заметим, что в случае систем обычно обозначают независимую переменную буквой Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №1 - открытая онлайн библиотека , рассматривая ее как время. Например, уравнения

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №2 - открытая онлайн библиотека

образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными функциями Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №3 - открытая онлайн библиотека и Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №4 - открытая онлайн библиотека . Если система записана в виде уравнений

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №5 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №6 - открытая онлайн библиотека

то ее называют системой, разрешенной относительно всех производных, или системой уравнений в нормальной форме. Вводя в рассмотрение векторы Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №7 - открытая онлайн библиотека и Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №8 - открытая онлайн библиотека то систему Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №9 - открытая онлайн библиотека можно записать кратко так:

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №10 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №11 - открытая онлайн библиотека

Такая форма записи системы уравнений Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №12 - открытая онлайн библиотека называется ее векторной формой. Ею мы и будем пользоваться в дальнейшем.

1. Понятия общего и частного решений. Задача Коши и ее разрешимость

Областью определения системы (1) называется область определения ее правой части Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №13 - открытая онлайн библиотека , т.е. множество

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №14 - открытая онлайн библиотека

Например, областью определения системы

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №15 - открытая онлайн библиотека

является множество

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №16 - открытая онлайн библиотека

В левой части системы (1) стоит производная вектор-функции Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №17 - открытая онлайн библиотека скалярного аргумента Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №18 - открытая онлайн библиотека . В дальнейшем будут встречаться и интегралы от вектор-функции. Поэтому с самого начала разъясним соответствующие понятия.

Производная (любого порядка) вектор-функции скалярного аргумента определяется равенствами:

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №19 - открытая онлайн библиотека

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №20 - открытая онлайн библиотека

(здесь Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №21 - открытая онлайн библиотека ), а интеграл – равенством

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №22 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, чтобы продифференцировать или проинтегрировать вектор-функцию скалярного аргумента, надо продифференцировать или проинтегрировать каждую компоненту этой функции. Вектор-функция называется непрерывной в точке Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №23 - открытая онлайн библиотека (или на множестве Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №24 - открытая онлайн библиотека ), если непрерывна в этой точке (или на множестве Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №25 - открытая онлайн библиотека ) каждая компонента этой функции. Для вектор-функций скалярного аргумента сохраняются обычные правила дифференцирования:

а) Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №26 - открытая онлайн библиотека

б) Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №27 - открытая онлайн библиотека ( Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №28 - открытая онлайн библиотека – скалярная функция),

в) Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №29 - открытая онлайн библиотека ( Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №30 - открытая онлайн библиотека – скалярная функция),

г) Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №31 - открытая онлайн библиотека

Интеграл от вектор-функции обладает свойствами линейности, аддитивности, дифференцируемости по верхнему и нижнему пределам. Например,

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №32 - открытая онлайн библиотека

Имеет место оценка

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №33 - открытая онлайн библиотека

где Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №34 - открытая онлайн библиотека или Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №35 - открытая онлайн библиотека

Если производную от матрицы Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №36 - открытая онлайн библиотека определить равенством Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №37 - открытая онлайн библиотека то, как нетрудно видеть, будут иметь место формулы

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №38 - открытая онлайн библиотека

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №39 - открытая онлайн библиотека

Перейдем к понятию решения системы (1). Пусть Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №40 - открытая онлайн библиотека – область определения системы (1).

Определение 1. Решением системы дифференциальных уравнений (1) на отрезке Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №41 - открытая онлайн библиотека называется вектор-функция Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №42 - открытая онлайн библиотека обладающая свойствами:

1) Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №43 - открытая онлайн библиотека

2) вектор-функция Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №44 - открытая онлайн библиотека дифференцируема на отрезке Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №45 - открытая онлайн библиотека ;

3) при всех Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №46 - открытая онлайн библиотека выполняется тождество

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №47 - открытая онлайн библиотека

Аналогично определяются решения на промежутках Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №48 - открытая онлайн библиотека и Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №49 - открытая онлайн библиотека Если Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №50 - открытая онлайн библиотека – решение системы (1) на отрезке Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №51 - открытая онлайн библиотека , то множество точек Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №52 - открытая онлайн библиотека , когда Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №53 - открытая онлайн библиотека пробегает отрезок Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №54 - открытая онлайн библиотека , образует в Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №55 - открытая онлайн библиотека некоторую Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №56 - открытая онлайн библиотека Эту кривую называют интегральной кривой системы (1). Пространство Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №57 - открытая онлайн библиотека переменных Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №58 - открытая онлайн библиотека называют фазовым пространством. Проекция интегральной кривой Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №59 - открытая онлайн библиотека в фазовое пространство называется траекторией системы уравнений (1). Ясно, что по интегральной кривой Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №60 - открытая онлайн библиотека траектория определяется однозначно, но не наоборот. Впредь решение Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №61 - открытая онлайн библиотека также будем называть интегральной кривой системы (1).

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №62 - открытая онлайн библиотека Мы знаем, что решение дифференциальных уравнений определяется неоднозначно. Чтобы выделить вполне конкретное решение, надо задать дополнительные условия. Пусть Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №63 - открытая онлайн библиотека – фиксированная точка в области Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №64 - открытая онлайн библиотека Задача, состоящая в нахождении решения Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №65 - открытая онлайн библиотека системы (1), удовлетворяющего начальному условию Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №66 - открытая онлайн библиотека называется задачей Коши или начальной задачей для системы (1). Ее кратко Рис. 11 записывают так:

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №67 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №68 - открытая онлайн библиотека

Ее геометрический смысл состоит в том, чтобы среди всех интегральных кривых системы (1) найти ту, которая проходит через заданную начальную точку Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №69 - открытая онлайн библиотека (см. рис. 11).

В каком случае задача Коши (2) имеет решение? Как и в случае скалярных дифференциальных уравнений это зависит от свойств правой части

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №70 - открытая онлайн библиотека

Теорема Коши. Пусть все компоненты Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №71 - открытая онлайн библиотека правой части Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №72 - открытая онлайн библиотека и их частные производные Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №73 - открытая онлайн библиотека непрерывны в области Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №74 - открытая онлайн библиотека . Тогда какова бы ни была начальная точка Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №75 - открытая онлайн библиотека , лежащая внутри области Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №76 - открытая онлайн библиотека существует отрезок Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №77 - открытая онлайн библиотека такой, что задача Коши (2) имеет решение на этом отрезке, причем это решение единственно.

Отметим, что эта теорема носит локальный характер: существование решения Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №78 - открытая онлайн библиотека гарантируется лишь в достаточно малой окрестности точки Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №79 - открытая онлайн библиотека ( Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №80 - открытая онлайн библиотека – достаточно мало). Кроме того, условия этой теоремы носят достаточный характер. При нарушении этих условий задача (2) может иметь или может не иметь решения. При этом, если решение существует, оно может быть не единственным. Например, задача Коши

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №81 - открытая онлайн библиотека

имеет два решения: Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №82 - открытая онлайн библиотека и Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №83 - открытая онлайн библиотека где Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №84 - открытая онлайн библиотека – функция вида

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №85 - открытая онлайн библиотека

Нарушение единственности решения объясняется тем, что условия теоремы Коши здесь не выполнены (именно: частная производная Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №86 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №87 - открытая онлайн библиотека разрывна в начальной точке Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №88 - открытая онлайн библиотека ).

Как и в случае скалярных уравнений, здесь также вводятся понятия частного и общего решений, частного и общего интегралов. Частным решением системы (1) называется решение Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №89 - открытая онлайн библиотека какой-нибудь ее задачи Коши (2) (именно: задачи Коши с начальным условием Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №90 - открытая онлайн библиотека ).

Определение 2. Вектор-функция

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №91 - открытая онлайн библиотека

зависящая от Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №92 - открытая онлайн библиотека произвольных постоянных Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №93 - открытая онлайн библиотека называется общим решением системы (1), если она удовлетворяет следующим требованиям:

1) при любых допустимых значениях постоянных Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №94 - открытая онлайн библиотека функция Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №95 - открытая онлайн библиотека является решением системы (1) на каком-нибудь отрезке Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №96 - открытая онлайн библиотека ;

2) какова бы ни была начальная точка Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №97 - открытая онлайн библиотека ( Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №98 - открытая онлайн библиотека – область определения системы (1)), существуют значения Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №99 - открытая онлайн библиотека постоянных Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №100 - открытая онлайн библиотека такие, что функция Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №101 - открытая онлайн библиотека является решением задачи Коши (2) с начальной точкой Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №102 - открытая онлайн библиотека .

Условие 2) означает, что алгебраическая система уравнений

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №103 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №104 - открытая онлайн библиотека

(относительно неизвестных Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №105 - открытая онлайн библиотека ) имеет хотя бы одно решение. Заметим, что в определении общего решения иногда требуют, чтобы указанная алгебраическая система уравнений имела единственное решение Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №106 - открытая онлайн библиотека . Это требование будет, очевидно, всегда выполненным, если в области Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №107 - открытая онлайн библиотека реализуются все условия теоремы Коши.

Пример 1. Показать, что вектор-функция

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №108 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №109 - открытая онлайн библиотека

является общим решением системы

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №110 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №111 - открытая онлайн библиотека

Решение. Вычислим производные от компонент вектор-функции (4):

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №112 - открытая онлайн библиотека

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №113 - открытая онлайн библиотека

Вычислим правые части системы (5):

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №114 - открытая онлайн библиотека

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №115 - открытая онлайн библиотека

Сравнивая найденные значения производных с вычисленными правыми частями, видим, что при подстановке вектор-функции (4) в систему (5) получаются тождества. Это означает, что вектор-функция (4) является решением системы (5) на любом отрезке Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №116 - открытая онлайн библиотека не содержащим точку Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №117 - открытая онлайн библиотека

Рассмотрим теперь произвольную точку Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №118 - открытая онлайн библиотека взятую из области Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №119 - открытая онлайн библиотека определения системы (5). Покажем, что алгебраическая система уравнений (3) имеет решение, В нашем случае (3) приобретает вид

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №120 - открытая онлайн библиотека

Умножая уравнения друг на друга, найдем, что

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №121 - открытая онлайн библиотека

Подставляя это в первое уравнение, будем иметь

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №122 - открытая онлайн библиотека

Таким образом, вектор-функция Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №123 - открытая онлайн библиотека является решением системы (5) с начальным условием Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №124 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №125 - открытая онлайн библиотека Это означает, что вектор-функция (24.4) является общим решением системы (5).

Общий и частный интегралы системы (1) определяются так же, как и в скалярном случае: это есть общее и частное решения системы (1), заданные соотношениями Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №126 - открытая онлайн библиотека и Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №127 - открытая онлайн библиотека соответственно, из которых общее и частное решения определяются как функции, заданные неявно.

2. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений

Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений является метод исключения, суть которого заключается в том, чтобы путем дифференцирования уравнений свести данную систему к одному дифференциальному уравнению высшего порядка. Рассмотрим этот метод на примерах.

Пример 2. Решить систему уравнений

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №128 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №129 - открытая онлайн библиотека

Решение. Дифференцируя первое уравнение системы (6) по Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №130 - открытая онлайн библиотека получаем уравнение Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №131 - открытая онлайн библиотека Производную Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №132 - открытая онлайн библиотека заменяем на Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №133 - открытая онлайн библиотека используя второе уравнение (6). В результате имеем уравнение

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №134 - открытая онлайн библиотека

второго порядка относительно одной функции Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №135 - открытая онлайн библиотека Его характеристическое уравнение Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №136 - открытая онлайн библиотека имеет два различных чисто мнимых корня Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №137 - открытая онлайн библиотека Значит, общее решение имеет вид Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №138 - открытая онлайн библиотека Поскольку Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №139 - открытая онлайн библиотека (см. первое уравнение (6)), то вторая компонента решения системы (24.6) вычисляется по формуле Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №140 - открытая онлайн библиотека Таким образом,

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №141 - открытая онлайн библиотека

Пример 3. Решить систему уравнений

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №142 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №143 - открытая онлайн библиотека

Решение. Дифференцируя первое уравнение системы (7), будем иметь Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №144 - открытая онлайн библиотека Из второго уравнения (7) находим Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №145 - открытая онлайн библиотека и подставляем в последнее уравнение. В результате будем иметь

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №146 - открытая онлайн библиотека

Это линейное уравнение второго порядка. Его общее решение вычисляем, например, методом подбора. Оно будет иметь вид

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №147 - открытая онлайн библиотека

Из первого уравнения системы (7) находим

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №148 - открытая онлайн библиотека

Следовательно,

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №149 - открытая онлайн библиотека

Заметим, что в последнем примере решение записано в виде интеграла.

Вторым способом решения систем уравнений является метод интегрируемых комбинаций. Суть этого метода состоит в том, чтобы подходящими преобразованиями привести исходную систему к одному дифференциальному уравнению относительно некоторой функции компонент данной системы. Если это уравнение легко интегрируется, то говорят, что оно является интегрируемой комбинацией данной системы. Получив достаточное число интегрируемых комбинаций, а затем рассмотрев их совместно, можно найти решение данной системы.

Пример 4. Решить систему уравнений

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №150 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №151 - открытая онлайн библиотека

Решение. Эту систему можно было бы решить методом исключения. Однако попробуем найти ее решение методом интегрируемых комбинаций. Складывая почленно оба уравнения (8), получаем интегрируемую комбинацию

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №152 - открытая онлайн библиотека

откуда вычисляем Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №153 - открытая онлайн библиотека Вычитая из первого уравнения системы (8) ее второе уравнение, получаем еще одну интегрируемую комбинацию

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №154 - открытая онлайн библиотека

из которой находим Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №155 - открытая онлайн библиотека Итак, получено два алгебраических уравнения

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №156 - открытая онлайн библиотека

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №157 - открытая онлайн библиотека

из которых легко находим решение системы (8):

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №158 - открытая онлайн библиотека

Соотношение Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №159 - открытая онлайн библиотека где Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №160 - открытая онлайн библиотека – скалярная функция, Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №161 - открытая онлайн библиотека – постоянная, называется первым интегралом системы (1), если при подстановке в него решения Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №162 - открытая онлайн библиотека оно обращается в тождество. Часто первым интегралом системы (1) называют скалярную функцию Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №163 - открытая онлайн библиотека , сохраняющую постоянное значение на решениях Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №164 - открытая онлайн библиотека системы (1).

Ясно, что одна интегрируемая комбинация системы (1) позволяет выписать один первый интеграл этой системы. Если найдено Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №165 - открытая онлайн библиотека интегрируемых комбинаций, то получим Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №166 - открытая онлайн библиотека первых интегралов

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №167 - открытая онлайн библиотека Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №168 - открытая онлайн библиотека

Если при этом определитель

Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №169 - открытая онлайн библиотека

не равен нулю в области Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №170 - открытая онлайн библиотека то (9) задают общий интеграл (в Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №171 - открытая онлайн библиотека ) системы (1). Это означает, что система алгебраических уравнений (9) задает общее решение дифференциальной системы (1) в неявной форме. Заметим, что определитель Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №172 - открытая онлайн библиотека называется якобианом системы функций Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №173 - открытая онлайн библиотека Если якобиан Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №174 - открытая онлайн библиотека не равен нулю в области Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №175 - открытая онлайн библиотека то система функций Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №176 - открытая онлайн библиотека будет функционально независимой в Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №177 - открытая онлайн библиотека В этом случае система уравнений (9) может быть разрешена относительно Лекция 13. Системы дифференциальных уравнений. Общие понятия - №178 - открытая онлайн библиотека причем однозначно.